Объемная плотность энергии магнитного и электрического полей
Электрическое поле и его свойства
Заряженные тела окружены особой средой, которая представляет собой электрическое поле. С его помощью осуществляется электрическое взаимодействие.
Электрическое поле — физическое поле, окружающее любой электрический заряд и оказывающее силовое воздействие на другие заряды, отталкивая или притягивая их.
Причинами возникновения электрического поля служат:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- электрические заряды;
- магнитные поля, которые изменяются с течением времени.
Электрические и магнитные поля принято рассматривать в качестве проявления обобщенного электромагнитного поля. Данное понятие связано с проявлением какого-либо из четырех фундаментальных взаимодействий природного характера.
Изучение и применение свойств электрических полей имеет большое значение в развитии физики как науки. На основе электрических полей разрабатывают электротехническое оборудование. С точки зрения атомной физики и химии, электрическое поле является силой удержания атомного ядра и электронов в атомах.
За счет данной силы формируются химические связи между атомами, что приводит к образованию молекул. Путем практического применения электрических полей удается обнаружить движения с помощью емкостных методик. Явление активно используют в диагностике и терапии в медицинской сфере.
У электрического поля есть математическое определение, согласно которому оно представляет собой векторное поле, связывающее с любой точкой в пространстве силу (электростатическую или кулоновскую) на единицу заряда, приложенную к бесконечно малому положительному пробному заряду, покоящемуся в этой точке.
В системе СИ единица измерения электрического поля: Вольт на метр (В/м), что в точности эквивалентно Ньютону на Кулон (Н/Кл).
Электрическое поле обладает следующими свойствами:
- Существует вне зависимости от сознания наблюдателей, то есть является материальным.
- Находится в области, окружающей заряды. Обнаружить электрическое поле можно, действуя на тестовый заряд.
- Непрерывное распределение в пространстве и ослабевание в процессе удаления от заряда.
- Скорость распространения электрического поля в вакуумной среде соответствует скорости света, то есть равна \(с= 3∙10 ^{8} м/с.\)
С целью раскрытия смысла понятия «электрического поля» можно рассмотреть основные его характеристики.
Напряженность — силовая характеристика электрического поля.
Напряженность, как векторная величина, обозначается Е и измеряется в Ньютонах на Кулон (Н/Кл), либо Вольтах на метр (В/м).
Найти напряженность можно по формуле:
Источник: spadilo.ru
Силовые линии — линии, касательные к которым совпадают с вектором напряженности.
Свойства силовых линий:
- направление аналогично направлению вектора напряженности;
- густота силовых линий определяет силу электрического поля;
- начало линий напряженности совпадает с положительными зарядами, а конец — с отрицательными зарядами или бесконечностью;
- однородным называют поле с параллельными силовыми линиями.
Электрические заряды, которые являются причиной образования электрических полей, описывают с помощью закона Гаусса. Электрические поля могут быть сформированы за счет изменения магнитных полей. В этом случае работает закон электромагнитной индукции Фарадея.
Перечисленные закономерности позволяют определить поведение электрического поля в вакуумной среде. С другой стороны, магнитное поле представляет собой функцию электрического поля. Можно выявить связь между уравнениями для обоих полей. В результате будут образованы уравнения Максвелла, описывающие магнитное и электрическое поля в виде функции зарядов и токов.
При рассмотрении частного случая стационарного состояния, то есть при наличии стационарных зарядов и токов, можно наблюдать исчезновение индуктивного эффекта Максвелла–Фарадея. Получается пара уравнений.
Закон Гаусса:
\(\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\)
Закон Фарадея без индукционного члена:
\(\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0\)
Если объединить записанные закономерности, они будут эквивалентны закону Кулона: частица с электрическим зарядом \(q_{1} \) в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}\) (радиус-вектор) действует с силой на частицу с зарядом \(q_{0}\) в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}\).
Закон Кулона:
\({\displaystyle {\boldsymbol {F}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{0} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1,0}}\)
где \({\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1,0}}\) — единичный вектор в направлении от точки \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}\) в точку \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}\),
\(\varepsilon _{0} \)— электрическая постоянная.
В том случае, когда среда, в которой находятся заряды, является непустой, электрическую проницаемость вакуума \(\varepsilon _{0}\) нужно заменить диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). При одинаковых знаках зарядов \(q_{0}\) и \(q_{1}\) сила обладает положительным значением. Ее направление от другого заряда указывает на отталкивание частиц друг от друга. При разных знаках зарядов сила отрицательна, а частицы притягиваются.
С целью упрощения вычисления кулоновской силы на любом заряде в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}\), данное выражение допустимо разделить на \(q_{0}\), оставив выражение, которое зависит только от другого заряда:
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}}_{0})={{\boldsymbol {F}} \over q_{0}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1,0}}.\)
\({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}}_{0}) \)— электрическое поле в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}},\) которое создано точечным зарядом \(q_{1}\). Рассматриваемая сила является векторной функцией, равной кулоновской силе на единицу заряда, испытываемой положительным точечным зарядом в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}\).
Данная формула позволяет определить, какова величина и направление электрического поля в какой-либо точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}} \)пространства, за исключением места расположения самого заряда \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}\), где поле становится бесконечным. Таким образом, уравнение определяет векторное поле.
Анализируя записанное уравнение можно сделать вывод: электрическое поле, создающее точечный заряд, в любом месте имеет направление от заряда в том случае, когда он положительный. Если заряд отрицательный — поле направлено в его сторону. Можно также заметить уменьшение величины поля пропорционально обратному квадрату расстояния от заряда.
Кулоновская сила, которая действует на заряд величиной q в какой-либо точке пространства, определяется, как произведение заряда и электрического поля в этой точке:
\({\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q{\boldsymbol {E}}}\)
Уравнения Максвелла линейны. По этой причине для электрических полей характерен принцип суперпозиции. Согласно данной закономерности, полное электрическое поле в точке от распределенных в пространстве зарядов соответствует векторной сумме электрических полей, которые образованы в рассматриваемой точке отдельными зарядами.
Принцип суперпозиции используют, чтобы рассчитать поле, которое создано множественными точечными зарядами. В том случае, когда заряды \({\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{n}}\) не перемещаются, находясь в точках \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\),\(\mathbf {x} _{2}\),...\(\mathbf {x} _{n}\), в отсутствии токов справедлив принцип суперпозиции. Согласно ему, результирующее поле представляет собой сумму полей, сформированных каждой частицей. Величину можно описать с помощью закона Кулона.
Запись результирующего поля с помощью закона Кулона:
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {E}}_{1}({\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {E}}_{2}({\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {E}}_{3}({\boldsymbol {x}})+\cdots ={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1}+{1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{2} \over ({\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{2}+{1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{3} \over ({\boldsymbol {x}}_{3}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{3}+\cdots }\)
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{k=1}^{N}{q_{k} \over ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{k}},\)
где \({\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {r}}_{k}}}} \)— единичный вектор, направленный от точки \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}}\) в точку \({\boldsymbol {x}}\).
С помощью принципа суперпозиции можно выполнить расчет электрического поля от непрерывного распределения \({\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}\) (где \( \rho\) — плотность заряда в кулонах на кубический метр).
С учетом заряда \({\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}}')dV}\) в каждом небольшом объеме пространства \(dV\) в точке \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}'}\) в виде точечного заряда, электрическое поле \({\displaystyle d{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})} \) в точке \({\boldsymbol {x}}\) можно определить таким образом:
\({\displaystyle d{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho ({\boldsymbol {x}}')dV \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'},\)
где \({\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}'} \)— это единичный вектор, направленный от \({\displaystyle {\boldsymbol {x}}'}\) к \({\boldsymbol {x}}\).
Рассчитать полное электрическое поле можно с помощью суммы вкладов от всех малых объемов. При этом нужно воспользоваться методом интегрирования по объему распределения заряда \({\displaystyle \rho (x')}\):
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\iiint \limits _{V}\,{\rho ({\boldsymbol {x}}')dV \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}\)
Такие же формулы применимы в случае поверхностного заряда с непрерывным распределением заряда \({\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}\), где \(\sigma\) является плотностью заряда в кулонах на квадратный метр:
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\iint \limits _{S}\,{\sigma ({\boldsymbol {x}}')dA \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}\)
Уравнение для линейных зарядов с непрерывным распределением заряда \({\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}\), где \lambda представляет собой плотность заряда в кулонах на метр, имеет следующий вид:
\({\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\int \limits _{P}\,{\lambda ({\boldsymbol {x}}')dL \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}\)
В том случае, когда рассматривается статичная система с магнитными полями, стабильными во времени, согласно закону Фарадея, электрическое поле является потенциальным. При этом допустимо задать электрический потенциал или функцию \(\Phi.\) В результате:
\({\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi }\)
Общий случай электрического поля недопустимо описывать без учета магнитного поля. При зависимости от вектора магнитного потенциала A, определенного как:
\({\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }\),
допустимо записать электрический потенциал \( {\displaystyle \Phi } \) в виде:
\({\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}},\)
где \({\displaystyle \nabla \Phi } —\) градиент электрического потенциала;
\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} \)— частная производная от A по времени.
Из рассмотренного уравнения можно получить закон индукции Фарадея:
\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}\)
Плотность энергии электрического и магнитного полей
Энергия электромагнитного поля — энергия, которая заключена в электромагнитном поле.
В рамках данного понятия можно рассматривать частные случаи чистого электрического и чистого магнитного поля. Рассмотреть энергию электромагнитного поля допустимо с помощью его характеристик.
Работа A электрического поля E, которая совершается для перемещения заряда Q, схожа по смыслу с механической работой:
\({\displaystyle A=\int F(x)\,dx=\int Q\cdot E(x)\,dx=Q\cdot U,}\)
где \(U=\int E\,dx\) — разность потенциалов, или напряжение.
Чаще всего при решении примеров рассматривают непрерывный перенос заряда за определенное время между точками с конкретной разностью потенциалов U(t). В результате уравнение для определения работы принимает следующий вид:
\({\displaystyle A=\int U(t)\,dQ=\int U(t)I(t)\,dt,}\)
где \(I(t)={dQ \over dt}\) — сила тока.
Мощность P, которая характеризует электрический ток на отрезке цепи, равна производной от работы A по времени. Формула для расчета мощности:
\({\displaystyle P(t)={\frac {dA}{dt}}=U(t)\cdot I(t),}\)
Согласно закону Ома:
\(U=I\cdot R\)
Электрическая мощность, которая выделяется на сопротивлении R, определяется, как:
\({\displaystyle P=I(t)^{2}\cdot R,}\)
Формула мощности с учетом напряжения принимает следующий вид:
\({\displaystyle P={{U(t)^{2}} \over R}.}\)
Таким образом, работа (выделившаяся теплота) представляет собой интеграл мощности по времени:
\({\displaystyle A=\int P(t)\,dt=\int I(t)^{2}\cdot R\,dt=\int {{U(t)^{2}} \over R}\,dt.}\)
Если рассматривать электрическое и магнитное поля, можно прийти к выводу, что их энергия пропорциональна квадрату напряженности поля. Определение «энергия электромагнитного поля» не совсем соответствует действительности. Ему на замену в физике нередко употребляют термин плотности энергии электромагнитного поля (в заданной точке пространства). Общая величина энергии поля является интегралом плотности энергии по всему пространству.
В системе СИ:
\({\displaystyle u={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}.}\)
В вакуумной среде и микрополях:
\({\displaystyle u={\varepsilon _{0}E^{2} \over 2}+{B^{2} \over {2\mu _{0}}}=\varepsilon _{0}{\frac {E^{2}+c^{2}B^{2}}{2}}={\frac {E^{2}/c^{2}+B^{2}}{2\mu _{0}}},}\)
где E — напряженность электрического поля;
B — магнитная индукция;
D — электрическая индукция;
H — напряженность магнитного поля;
с — скорость света;
\(\varepsilon _{0} \)— электрическая постоянная;
\(\mu _{0}\) — магнитная постоянная.
В системе СГС:
\({\displaystyle u={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{8\pi }}.}\)
Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре:
\({\displaystyle W={\frac {CU^{2}}{2}}+{\frac {LI^{2}}{2}},}\)
где U — электрическое напряжение в цепи;
C — электроемкость конденсатора;
I — сила тока;
L — индуктивность катушки или витка с током.
В том случае, когда речь идет об электромагнитной волне, плотность потока энергии определяют с помощью вектора Пойнтинга S (в русской научной литературе можно встретить понятие вектор Умова–Пойнтинга).
В системе СИ вектор Пойнтинга определяют, как:
\({\mathbf S}={\mathbf E}\times {\mathbf H}\)
В результате вектор Пойнтинга равен векторному произведению напряженностей электрического и магнитного полей. Направление вектора совпадает с перпендикулярами к векторам E и H. Данное условие соответствует свойству поперечности электромагнитных волн.
С другой стороны, формулу для плотности потока энергии можно адаптировать для случая стационарных электрических и магнитных полей:
\({\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}.}\)
Формула объемной плотности энергии
Конденсатор представляет собой двухполюсник, значение емкости которого может быть постоянным или переменным, а проводимость обладает малыми значениями.
Конденсатор является устройством, предназначенным для накопления заряда и энергии электрического поля, и пассивным электронным компонентом. Единицами измерения емкости конденсатора являются фарады.
Принято выражать энергию заряженного конденсатора с помощью величин, являющихся характеристиками электрического поля в пространстве между обкладками.
Энергия плоского конденсатора:
Емкость плоского конденсатора:
В результате:
Таким образом, напряженность поля в конденсаторе и разность потенциалов между его обкладками связаны формулой:
С другой стороны, объем конденсатора равен:
С учетом \(\overrightarrow{D} \) и \(\overrightarrow{E}:\)
Таким образом:
Объемная плотность энергии электрического поля:
Объемная плотность энергии — величина, равная энергии единицы объема поля.
В случае изотропного диэлектрика объемная плотность энергии:
Исходя из записанных уравнений, можно сделать вывод о том, что плотность энергии поля с определенной напряженностью, образованного в среде с конкретной проницаемостью, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля.
Энергия поля конденсатора с зарядом q на его обкладке определяется с помощью величины заряда и емкости конденсатора:
Энергия электрического поля может быть определена при известной силовой характеристике поля:
В том случае, когда поле является однородным:
\(W=const\)
Между обкладками плоского конденсатора действует сила притяжения. Известно, что:
\(F=Eq\)
Одна пластина создает поле, напряженность которого равна:
С другой стороны:
\(q=sS\)
В таком случае:
Источник: edu.tltsu.ru
Записанное выражение не согласуется с опытом. Причина заключается в том, что кроме «электрической силы» на обкладки со стороны диэлектрика (имеется виду жидкий или газообразный диэлектрик) действуют еще механические силы, стремящиеся их раздвинуть. Опытным путем доказано, что роль носителя энергии играет поле.
В электростатике поле и заряды невозможно отделить друг от друга. С другой стороны, электрические поля, которые изменяются по времени, могут существовать обособлено, независимо от возбудивших их зарядов, и могут распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию.
Единицы измерения плотности энергии
Единицами измерения объемной плотности энергии электрического поля являются \(Дж/м^{3}\). Джоуль на кубический метр соответствует объемной плотности энергии электрического поля, для которого энергия 1 Дж равномерно распределена по объему \(1 м^{3}\).
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
