Постоянная Больцмана

Краткое описание

Взаимосвязь между макроскопическими свойствами материи (давление, температура) и характером движения атомов и молекул описывается молекулярно-кинетической теорией. Одним из ее создателей являлся Людвиг Больцман.

\(\frac{mv^2}2=kT\)

где m — масса молекул газа, v — их средняя скорость, k — постоянная Больцмана, а T — температура газа по шкале Кельвина.

Физический смысл постоянной Больцмана заключается в обеспечении взаимосвязи характеристик атомно-молекулярного уровня и объемными свойствами газа, которые можно измерить при помощи приборов.

Постоянная Больцмана обозначается буквой k, а ее величина равна

\(k=1.38\times10^{-23}Дж/К\)

Как соотносится энергия и температура

При абсолютной температуре T в идеальном однородном газе на каждую поступательную степень свободы приходится энергия \(kT/2\), что следует из распределения Максвелла. Значение этой энергии при 300 К (комнатной температуре) составляет примерно

\(2.07\times10^{-21} Дж.\)

В идеальном одноатомном газе каждый атом имеет три степени свободы, которые соответствуют трем пространственным осям. Поэтому энергию, приходящуюся на каждый атом можно выразить как

\(\frac{3kT}2\)

Если известна величина тепловой энергии, то нетрудно рассчитать среднеквадратичную скорость атомов. Она будет обратно пропорциональна корню квадратному из атомной массы. Например, при температуре 300 К среднеквадратичная скорость молекул ксенона составит 240 м/с, а гелия — 1370 м/с.

Вычисления для молекулярного газа усложняются. Это связано с увеличением степеней свобод. Так, например, при низкой температуре двухатомный газ имеет уже две вращательных и три поступательных степеней свободы. Рассмотрим решение конкретной задачи.

Задача

Газ состоит из N-атомных объемных молекул и находится при определенной температуре Т, при которой у молекул возбуждены колебательные, вращательные и поступательные степени свободы. Найти среднюю энергию молекул этого газа.

Решение

На каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая величина кинетической энергии (закон равномерного распределения энергии по степеням свободы), которая равна

\(\left\langle\Sigma_i\right\rangle=\frac{kT}2\)

Тогда можно утверждать, что средняя энергия молекулы составит

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\frac{ikT}2\)

Сделаем небольшое пояснение: i — сумма поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, то есть

\(i=m_{post}+m_{vr}+2m_{kol}\)

Теперь необходимо определить сколько степеней свободы имеют молекулы рассматриваемого газа:

\(m_{post}=3, m_{vr}=3\)

тогда \(m_{kol}=3N-6\)

\(i=6+6N-12=6N-6\)

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\frac{6N-6}2kT\)

Сокращаем полученное выражение и получаем:

\(\left\langle\Sigma\right\rangle=\left(3N-3\right)kT\)

Ключевые нюансы

Постоянная Больцмана представляет собой отношение газовой постоянной (R) к постоянной Авогадро (Na):

\(k=\frac R{N_a}\)

По состоянию на 2017 год в международной системе единиц (СИ) ее значение составляет

\(1,380649\times10^{-23},\)

а размерность — Дж/К.

Постоянную Больцмана не следует путать с постоянной Стефана-Больцмана, которая является константой пропорциональности в законе Стефана-Больцмана.

Способы нахождения постоянной Больцмана

Для нахождения постоянной Больцмана можно использовать различные методы. 

Универсальный метод

Искомый коэффициент входит в уравнение состояния идеального газа:

\(p=\frac NVkT\)

Многочисленные опыты показывают, что при нагревании любого газа от T₀=273 К до Т₁=373 K его давление на стенки сосуда увеличивается с \(P_0=1.013\times10^5\) Па до \(P_1=1.38\times10^5 Па.\)

Провести такой опыт совсем несложно. В качестве газа используется обычный воздух, давление измеряется при помощи манометра, а температура — термометра. При этом известно, что один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем V=22,4 л и содержит \(6.02\times10^{23}\) молекул.

Подставим известные параметры в уравнение состояния идеального газа:

\(P_0=\frac N{V_0}kT_0\)

\(P_1=\frac N{V_1}kT_1\)

Отсюда, коэффициент k

\(k=\frac{P_1V_1-P_0V_0}{N\left(T_1-T_0\right)}\)

Подставив в получившиеся уравнение известные данные и решив его получаем значение постоянной Больцмана равное \(1.38\times10^{-23}.\)

Через формулу броуновского движения

Небольшое зеркальце подвешивают на упругой нити. Система зеркало-воздух находится в статическом равновесии. О поверхность зеркала ударяются хаотично движущиеся молекулы воздуха. Поэтому оно ведет себя как одна из броуновских частиц. Помимо этого, зеркало будет совершать и крутильные колебания вокруг оси, которой является упругая нить-подвес.

Зеркальную поверхность освещают лучом света. При ее, даже небольших поворотах, отраженный луч будет смещаться. Это позволяет не только увидеть, но и измерить крутильные колебания.

Обозначим угол поворота зеркала как \(\varphi\), момент инерции зеркала — J, а модуль кручения подвеса — L. Теперь запишем уравнение крутильных колебаний, которое будет иметь вид:

\(J_\varphi=-L_\varphi\)

Умножив обе части уравнения на \(\varphi\) и преобразовав его получаем:

\(\frac{J\varphi^2}2+\frac{L\varphi^2}2=Const\)

Так как малые крутильные колебания являются гармоничными, то можно записать:

\(\frac12J\left\langle\varphi^2\right\rangle=\frac12L\left\langle\varphi^2\right\rangle=\frac12kT\)

Исходя из него получаем:

\(\left\langle\varphi^2\right\rangle=\frac{kT}L\)

Отсюда

\(k=\frac{\left\langle\varphi^2\right\rangle L}T\)

Подставив в полученную формулу полученные опытным путем данные, например

\(\left\langle\varphi^2\right\rangle\approx4\times10^{-6}\)

\(L\approx10^{-15}Н\times м\)

\(T\approx290K\)

Получаем приблизительное значение постоянной Больцмана равное

\(1.38\times10^{-23}\;Дж/К\)

Области применения

Постоянная Больцмана является важным членом многих уравнений:

• кинетической теории газов;
• распределения Максвелла-Больцмана;
• средней энергии молекулы;
• состояния идеального газа.

Кроме того, постоянная Больцмана играет роль в распределении энергии, используется в определении энтропии. Немаловажное значение имеет эта константа и в физике полупроводников. Она входит в состав формулы, описывающей зависимость между электропроводимостью и температурой.