Принцип Даламбера — теоретическая механика

Принцип Даламбера: определение в теоретической механике

Принцип Даламбера – это один из главных принципов динамики, гласящий, что при добавлении силы инерции к воздействующим на точки механической системы активным силам и реакциям наложенных связей образуется сбалансированная совокупность сил. Другими словами, при сложении всех действующих сил, реакции связи и силы инерции получится ноль.

Принцип получил название в честь французского ученого Жана Даламбера, впервые изложившего данный закон в своем труде «Динамика». Второе название – принцип кинетостатики. 

Формула

В записи рассматриваемый принцип выглядит следующим образом:

\(F_i+N_i+J_i=0\)

где i – это точка, на которую воздействуют активные силы F, наложенные реакции связи N и дополнительная сила инерции J.

Принцип для материальной точки

Согласно второму закону динамики, запишем:

\(m\overline a=\overline F+\overline N\)

где \(\overline N\) – наложенная реакция связи.

Сила инерции принимает значение:

\(\overline J=-m\overline a\)

Следовательно:

\(\overline F+\overline N+\overline J=0\)

Данная формула описывает принцип Даламбера относительно материальной точки и расшифровывается так: в любой момент времени движения точки при сложении воздействующих на нее сил, реакций связи и силы инерции получается 0.

Принцип для механической системы

Для механической системы из n точек существует n уравнений следующего вида:

\({\overline F}_i+{\overline N}_i+{\overline J}_i=0\)

Суммируем все уравнения и введем векторные обозначения.

Главный вектор внешних сил:

\(\Sigma F_i=F^E\)

Главный вектор реакций связей:

\(\Sigma N_i=N\)

Главный вектор сил инерции:

\(J_i=J\)

В результате получится следующий вид:

\(\Sigma F_i+\Sigma N_i+\Sigma J_i=0\)

Значит,

\(F^E+N+J=0\)

Чтобы твердое тело находилось в статичном состоянии, необходимо, чтобы главный вектор и главный момент действия сил были равны нулю. Учитывая это условие, а также теорему о моменте равнодействующей, получим такое соотношение:

\(\Sigma r_i\times F_i+\Sigma r_i\times N_i+\Sigma r_i\times J_i=0\)

Главный момент внешних сил:

\(\Sigma r_i\times F_i=M_0^F\)

Главный момент реакций связей:

\(\Sigma r_i\times N_i=M_0^N\)

Главный момент сил инерции:

\(\Sigma r_i\times J_i=M_0^J\)

Отсюда получим формулы:

\(\overline F^E+\overline N+\overline J=0\)

и

\({\overline M}_0^F+{\overline M}_0^N+{\overline M}_0^J=0\)

Таким образом, запись принципа кинетостатики для механических систем производится двумя формулами: 

\(F^E+N+J=0\)

и

\({\overline M}_0^F+{\overline M}_0^N+{\overline M}_0^J=0\)

В любой момент времени движения механической системы главные векторы действующих сил, наложенных реакций связи и сил инерции дают в сумме 0.

Поскольку в образовавшихся формулах в силах инерции есть ускорение, эти формулы являются дифференциальными уравнениями – это вторая производная от закона движения точки.

Движение механической системы может быть записано в виде уравнения статики, позволяющие найти неизвестные силы и реакции связей.

Сила инерции Даламбера

Сила Даламбера представляет собой несуществующую в реальности величину, которую невозможно измерить. Она применяется в инерциональных системах отсчета для использования искусственного приема – упрощения уравнений динамики до уравнений равновесия.

Где применяется принцип

Принцип кинетостатики дает возможность записать движение произвольной системы в виде уравнения и решать задачи динамики с помощью методов равновесия. По этой причине рассматриваемый принцип широко используют в работе инженеры. Также принцип Даламбера удобен для нахождения неизвестных элементов уравнения.