Уравнение теплового баланса

Теплообмен в системе — в чем смысл в физике

Все тела в замкнутой системе «взаимодействуют» друг с другом путем отдачи либо получения энергии. При этом начальная температура каждого из них меняется: более горячие отдают «градусы» менее нагретым, и наоборот: холодные нагреваются до средней по системе температуры.  

Такая теплопередача может осуществляться как непосредственно от тела к телу, так и путем перегородок, заключенных внутрь системы. Говоря языком физики, устанавливается термодинамическое равновесие.

Он протекает до тех пор, пока в системе установится термодинамическое равновесие.

На основании закона сохранения энергии получается, что для замкнутой системы та теплота, которая теряется телами, более нагретыми, равна тому количеству, которое приобретают менее холодные.

Когда в результате такого обмена теплом внутренняя энергия нагревающегося тела (и, соответственно, его температура) меняется, имеет значение еще один параметр. Это теплоемкость вещества. Она показывает, сколько нужно энергии, чтобы нагреть 1 кг вещества на 1 Кулон. Рассчитать можно по формуле:

\(Q=c\times m\times(t2-t1)=c\times m\times\Delta t\)

Из математического выражения видно, если температура второго тела (t2) выше первого, то Q положительное. Если t2 меньше, чем t1, то количество теплоты отрицательно, следовательно, тепло отдается.

Способность тела передавать либо принимать энергию (тепло) определяется удельной теплоемкостью вещества, из которого оно изготовлено. Если эту величину умножить на конкретную массу тела, то получится высчитать теплоемкость тела. Для этого существует формула:

\(C=c\times m\)

Зная теплоемкость тела, можно рассчитать получаемое либо отдаваемое количество теплоты, если тело войдет в замкнутую систему. Формула имеет следующий вид:

\(Q=c\times(t2-t1)\)

Уравнение теплового баланса

Когда система тел замкнута, никакого движения энергии, кроме обмена между участниками, не происходит. При этом то тепло, которое одни тела отдают, равняется тому, которые получают более холодные. Теплообмен перестает происходить на том этапе, когда температуры участников изолированной системы уравниваются, т.е. наступает термодинамическое равновесие. Это есть пояснение уравнения теплового баланса, математическая запись которого имеет следующий вид:

Q1отд+Q2отд+...=Q1погл+Q2погл+...

Поскольку в формуле заложены значения параметров по модулю, всегда из большего вычитается меньшее. Вид уравнения, записанного без модулей, подразумевает вычитание из конечной температуры первичной.

Примеры решения задач

Использование уравнения теплового баланса необходимо при решении задач как для тел, поглощающих тепло (нагревание, парообразование, плавление), так и отдающих его другим телам замкнутой системы (кристаллизация, конденсация, сгорание топлива, охлаждение).

Задача №1.

Какую минимальную массу льда нужно положить в калориметр с 0,5 кг воды с температурой 20°C, чтобы охладить ее до 0°C?

Известно, что удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/кг×оС, =3,3×10⁵Дж⁄кг.

Принимается условие, что система тел, о которой идет речь, замкнутая.

Исходя из уравнения теплового баланса, 

Q_в+Q_л=0

То тепло, которое отдает вода, можно измерить по формуле:

\(Q_в=c\times mв\times(t_{2в}-t_{1в})\)

Лед, плавясь от нагревания, получает следующее количество теплоты:

\(Q_л=\lambda_ л\times m_л\)

Зная, что сумма этих двух выражений равна нулю, получаем формулу для нахождения искомого значение:

\(\lambda _л\times m_л=-c\times m_в\times(t_{2в}-t_{1в})\)

или

\(\lambda_л\times m_л=c\times m_в\times(t_{1в}-t_{2в})\)

Подставив в формулу значения, получаем ответ.

Задача № 2

В стакан с водой при температуре 20°C, заполненный на одну четверть объема, долили три четверти кипятка. Какая температура воды стала, если условно рассматривать систему замкнутой, т.е. тепловое излучение, идущее на нагревание стекла не учитывать.

В основе решения лежит уравнение теплового баланса:

Qг+Qх=0

Объем горячей воды по условии равен три четверти стакана, холодной — одна четверть. Зная ρ воды, по формуле можно найти соответствующую массу:

\(mг=3⁄4V\times\rho\)

\(mх=1⁄4V\times\rho\)

Теперь, используя формулы теплового равновесия, выводим конечную формулу для решения задачи:

\(c\times m_х(t_{2см}-t_{1x})=-c\times m_г\times(t_{2см}-t_{1г})\)

\(1/4\times V\times\rho\times c\times(t_2\times c\times m-t_1\times x)=3/4V\times\rho\times c_в\times(t_{1г}-t_2\times c\times m)\)

Обработав формулу математически, выводится следующее отношение:

\((t_{2cm}-t_{1x})=3\times(t_1-t_{2cm})\)

В итоге: 

\(4t_{2cm}=3t_{1г}+t_{1x}\)
Подставляя имеющиеся значения, легко находится искомая величина.