Правила деления комплексных чисел
Деление комплексных чисел — основные правила
Определение 1
Частным двух комплексных чисел \(z_{1}=a_{1}+b_{1} i\) и \(z_{2}=a_{2}+b_{2} \)i называют число z, заданное соотношением: \(z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i\)
Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- умножение делимого и делителя на число, комплексно сопряженное делителю, что преобразует делитель в действительное число;
- в числителе умножают пару комплексных чисел;
- полученную дробь почленно делят.
В каких формах это можно делать
Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.
Формула деления в алгебраической форме
Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i\frac{a_2 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2}\)
Формула деления в тригонометрической форме
Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. После выполнения данной операции определяют разность аргументов:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 - \varphi_2))\)
Формула деления в показательной форме
Показательная форма деления комплексных чисел в тригонометрии предполагает деление модулей и вычисление разности аргументов в экспоненте:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{(\varphi_1 - \varphi_2)i}\)
Примеры решения задач
Задача 1
Необходимо найти частное пары комплексных чисел:
\(z_1 = 3+i\) и \(z_2 = 2-3i\)
Решение:
Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} =\)
Сопряженное комплексное число к знаменателю:
\(\overline{z_2} = 2+3i\)
Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:
\(= \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i - 3}{4 + 6i - 6i + 9} =\)
Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:
\(= \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)
Ответ: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)
Задача 2
Требуется выполнить деление комплексных чисел:
\(z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6})\)
\(z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})\)
Решение:
Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. По этой причине необходимо использовать в расчетах соответствующую формулу. В данном случае следует определить деление модулей и разность аргументов:
Деление модулей:
\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Разность аргументов:
\(\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\)
Следующим шагом является деление чисел:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} )\)
Ответ: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} )\)
Задача 3
Нужно найти частное комплексных чисел:
\(z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i}\)
\(z_2 = 4e^{\frac{\pi}{4}i}\)
Решение: Согласно формуле деления в показательной форме определяем разность аргументов и частное модулей:
\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}\)
\(\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)
При подстановке в формулу полученных значений уравнение будет преобразовано следующим образом:
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i}\)
Ответ: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i}\)
Задача 4
Определить частное:
\(\frac{-2+i}{1-i}\)
Решение:
В первую очередь следует домножить числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю:
\(1-i\)
Данным числом является:
\(1+i\)
Таким образом:
\\(frac{-2+i}{1-i}=\frac{-2+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
Затем следует перемножить комплексные числа, как алгебраические двучлены, с учетом:
\(i^{2}=-1\)
\(\frac{-2+i}{1-i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=\)
\(=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)
Ответ:\( \frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)
Задача 5
Необходимо найти частное:
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)
При условии, что:
\(z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\)
\(z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\)
Решение:
Искомое частное:
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=\)
\(=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\)
\(=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i\)
Ответ: \(\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i\)
Задача 6
Необходимо разделить два комплексных числа:
\(z_{1}=-1+3i\)
\(z_{2}=1+2i\)
Решение:
С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:
\(z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =\)
\(= \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i\)
Ответ: \( z_{1} \div z_{2} = 1+i\)
Задача 7
Необходимо вычислить частное комплексных чисел:
\(z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)\)
\(z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)\)
Решение:
Используя соответствующую формулу, запишем:
\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =\)
\(= 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)
Ответ:\( z_{1} \div z_{2} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)
Задача 8
Требуется разделить два комплексных числа:
\(z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}\)
\(z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i}\)
Решение:
Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:
\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)
Ответ: \(z_{1} \div z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
