Длина вектора

Определение

Обозначается, как \(\left|\vec AB\right|\)

Нахождение длины вектора

Формула нахождения длины вектора \(\vec a\)  зависит от его расположения. Если он находится в плоскости, то есть \(\vec a=\left(a_x;a_y\right)\), то для вычисления потребуется формула:

\(\left|\vec q\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Пример

Узнать длину вектора \(\vec a\) по его координатам (5; -3).

Исходные данные \(a_x=5,\) \(a_y=-3\) подставляем в формулу и вычисляем.

\(\left|\vec a\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{5^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)

Если же вектор находится в пространственной системе, то есть \(\vec a=\left(a_x;a_y;a_z\right),\) то для вычисления потребуется формула:

\(\left|\vec a\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)

Пример

Узнать длину вектора \(\vec a\) по его координатам (2; 2; 4).

\(a_x=2, a_y=2, a_z=4\)

Подставляем данные координат из условия и вычисляем:

\(\left|\vec a\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{2^2+2^2+4^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt6\)

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

В предыдущем разделе мы нашли длину вектора с помощью координат. Но если они неизвестны, то длину можно посчитать через координаты точек его начала и конца.

Если даны две точки: \(A\left(a_x;a_y\right) и B\left(b_x;b_y\right),\) то вектор \(\vec AB \) имеет координаты \(\left(b_x-a_x;b_y-a_y\right).\)

Отсюда следует формула:

\(\left|\vec AB\right|=\sqrt{\left(b_x-a_x\right)^2+\left(b_y-a_y\right)^2}\)

Пример

Узнать длину вектора \(\vec AB\), если А (1; 3), В (3; 6).

\(\left|\vec AB\right|=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(6-3\right)^2}=\sqrt{4+6}=\sqrt{10}\)

Формула для трехмерного пространства выглядит следующим образом:

\(\left|\vec AB\right|=\sqrt{\left(b_x-a_x\right)^2+\left(b_y-a_y\right)^2+\left(b_z-a_z\right)^2}\)

Пример:

Узнать длину вектора \(\vec AB\), если А (0; 1; 3), В (2; 3; 6).

\(\left|\vec AB\right|=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(3-1\right)^2+\left(6-3\right)^2}=\sqrt{4+4+6}=\sqrt{14}\)

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Однако по условию задач координаты вектора не всегда известны. Тогда приходится искать иные пути решения.

К примеру, известны длины двух векторов\( \vec AB\) и \(\vec AC\), а также угол между ними. Необходимо выяснить, длину вектора \(\vec BC\). В этом случае, чтобы определить векторное значение, следует можно обратиться к теореме косинусов.

Пример:

Длина вектора \(\vec AB=2\), \(\vec AC=4\), а угол между ними \(=\frac\pi4.\)

Вычислить длину вектора \(\vec BC.\)

Длина вектора \(\vec BC\) равна длине стороны BC треугольника ΔABC.

Исходные данные позволяют воспользоваться теоремой косинусов, так как длины стороны треугольника известны из условия (они равны длинам векторов \(\vec AB\) и \(\vec AC\)). И угол между ними тоже известен.

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle\left(\vec AB,\vec AC\right)=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cdot\cos\frac\pi4=4+16-8\sqrt2=20-8\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{20-8\sqrt2}\)

\(\left|\vec BC\right|=\sqrt{20-8\sqrt2}\)