Как найти среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции  что это?

Средняя линия трапеции  отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Свойства

  1. Параллельна обоим основаниям трапеции.
  2. Вычисляется как половина суммы оснований.
  3. Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как \(\frac{S_1}{S_2}=\frac{3\,BC+AD}{BC+3\,AD}\)

Как вычислить, основные формулы

Через основания

Средняя линия трапеции1
Источник: formula.ru

\(m=\frac{a+b}2\)

Где \(a\)  нижнее основание, \(b\)  верхнее, \(m\)  средняя линия.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Через основание, высоту и углы при нижнем основании

Средняя линия трапеции2
Источник: formula.ru

\(m=a-h\times\frac{ctg\alpha+ctg\beta}2\)

\(m=b+h\times\frac{ctg\alpha+ctg\beta}2\)

Где \(a\)  нижнее основание, \(b\) верхнее, \(m\) средняя линия, \(h\) высота, \(\alpha,\beta\)  углы при нижнем основании.

Через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Средняя линия трапеции3
Источник: formula.ru

\(m=\frac{d_1d_2}{2h}\times\sin\alpha=\frac{d_1d_2}{2h}\times\sin\beta\)

Где \(a\)  нижнее основание, \(b\)  верхнее, \(m\)  средняя линия, \(h\)  высота, \(\alpha,\beta\) – углы между диагоналями, \(d_1\), \(d_2\)  диагонали трапеции.

Через площадь и высоту

Средняя линия трапеции4
Источник: formula.ru

\(m=\frac{{}_S}h\)

Где \(h\) – высота трапеции, \(m\)  средняя линия, \(S\)  площадь.

Примеры задач

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.

Задача 1
Источник: ege-study.ru

\(\angle ABC\) и \(\angle BAH\) односторонние \(\Rightarrow \angle ABC+\angle BAH\;=\;180^\circ \Rightarrow \angle BAH\;=\;30^\circ\)

Рассмотрим \(\angle ABH\)

\(BH=\frac12AB=3,5\)

\(S_{ABCD}=\frac{AD+BC}2\times BH=\frac{6+18}2\times3,5=42\)

Ответ: 42

Задача 2

Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?

Задача 2
Источник: ege-study.ru

Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.

Ответ: 5

Задача 3

ABCD  трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ  средняя линия, BD и AC  диагонали. Найти MN.

Задача 3
Источник: ege-study.ru

\(PQ=\frac{BC+AD}2=2,5\)

Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 - 1 - 1 = 0,5

Ответ: 0,5

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»