Парабола в математике: уравнение, построение, виды

Что такое парабола в математике

При этом \(a\neq0\), иначе функция уже будет не квадратичной, а линейной.

Формула параболы может рассказать нам о многом:

1. Коэффициент \(a\) говорит о направлении ветвей параболы. Если \(а>0\), то ветви смотрят вверх, если \(а<0\), вниз.
2. От параметра \(b\) зависит вершина параболы. Она рассчитывается по формуле: \(x_в=\frac{-b}{2a}\)
3. Свободный член \(с\) отвечает за пересечение параболы с осью \(y\).

Алгоритм построения параболы

Построим график функции \(f(x)=ax^2+bx+c.\)

1. Определим куда смотрят ветви параболы.
2. Найдем вершину по формуле \(x_в=\frac{-b}{2a}\). Подставим \(x_в\) в формулу функции и получим значение \(y_в\). Таким образом мы имеем обе координаты вершины. Нанесем их на систему координат.
3. Найдем точку пересечения с осью y по параметру с и нанесем на чертеж точку, симметричную ей, относительно оси симметрии параболы, т.е. прямой \(y=\frac{-b}{2a}.\)
4. Далее решаем уравнение \(ax^2+bx+c=0\). Получаем корни - они являются точками пересечения параболы с осью \(x\). Если они рациональны, наносим их на чертеж, в обратном случае, они не пригодятся.
5. Затем считаем значения функции в дополнительных симметричных точках и соединяем все найденные точки.

Примеры решения задач на построение параболы

Смещение параболы

Свободный член с смещает параболу по оси y. Например, если c=2, то парабола f(x)=ax^2+bx сместится вверх на 2 единичных отрезка, а если с=-2, то график сместится вниз так же на 2 единичных отрезка.

В случае, когда к аргументу x прибавляется или вычитается какое-либо число, график смещается по оси x. Например, для построения графика функции \(y={(x+4)}^2\) достаточно сместить график \(y=x^2 \)на 4 единичных отрезка влево, а для построения графика \(y={(x-3)}^2\) нужно сместить график \(y=x^2\) на 3 единичных отрезка вправо.