Площадь цилиндра

Площадь цилиндра — как правильно рассчитать

Перед тем, как начать вычисление площади цилиндра, необходимо учесть, что существует два ее вида:

1. Полная площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади его основания.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра. Она равняется произведению высоты цилиндра на длину окружности основания.

Чтобы вычислить общую площадь поверхности цилиндра, нужно применить формулу:

\(S=2\times\pi\times R\times h+2\times\pi\times R^2=2\times\pi\times R\times\left(h+R\right)\)

Здесь R — радиус окружности, а h — высота. 

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно воспользоваться формулой: 

\(S=2\times\pi\times R\times h\)

«Компоненты» стереометрической фигуры

Цилиндр состоит из нескольких составляющих.

1. Цилиндрическая поверхность — это поверхность, которая образуется большим количеством параллельных прямых, проходящих через точки некоторой кривой.
2. Основания — это плоские фигуры, которые образованы пересечением ЦП с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр. Оснований у цилиндра два.
3. Боковой поверхностью называют часть ЦП, которая находится между основаниями.
4. И, наконец, высота — это отрезок, который высекается плоскостями оснований цилиндра на прямой, перпендикулярной им.

Рассмотрим, как различаются типы рассматриваемой геометрической фигуры по форме. Цилиндр может быть:

1. Прямой. Его основания имеют центры симметрии, то есть являются кругами или эллипсами. При этом прямая между центрами перпендикулярна плоскостям оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
2. Косой. Его основания имеют центры симметрий, однако отрезок между ними не перпендикулярен плоскостям оснований.
3. Круговой. Имеет окружность в роли направляющей.
4. Прямой круговой. Его можно получить с помощью вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тогда эта сторона будет осью цилиндра и осью симметрии.
5. Равносторонний. Его диаметр равен высоте.
6. Эллиптический, гиперболический и параболический. Образованы соответственно эллипсами, гиперболами и параболами.
7. Усеченный. Геометрическое тело, которое отсекается от цилиндра плоскостью, не параллельной основанию.
8. Призма. Является разновидностью цилиндра, если имеет основание в виде многоугольника.

Основные формулы для вычисления боковой и полной площади

Кроме рабочих способов, перечисленных выше, рассчитать площадь рассматриваемого тела можно следующими методами:

1. Через диаметр и высоту: \( S_{полн.}=D\times\pi\left(h+\frac D2\right); S_{бок.}=D\times\pi\times h.\)
2. Через объем: \(S=\frac Vh.\)
3. Через длину окружности. Так как \(l=2\times\pi\times R\), то \(S_{бок.}=l\times h\), а \(S_{полн.}=l\times h+2\times\pi\times R^2\). 

Приведем примеры расчета.

Задача 1

Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Высчитать площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

\(S_{бок.}=2\times\pi\times R\times h\)

Из этого: \(S_{бок.}=2\times3,14\times2\times3=6,28\times6=37,68.\)

Ответ: \(S_{бок.}=37,68.\)

Задача 2

\(S_{бок.}=24\pi\), а диаметр основания — 3. Узнать высоту цилиндра.

Решение

\(S_{бок.}=2\times\pi\times R\times h\)

Высоту отсюда вычислим так: 

\(h=\frac{S_{бок.}}{2\pi R}\)

Радиус равен: \(R=\frac D2. h=\frac{24\pi}{2\pi\times0,5D}=\frac{24\pi}{2\pi\times0,5\times3}=\frac{12}{1,5}=8\)

Ответ: \(h=8.\)