Признаки параллельных прямых

Что такое параллельные прямые

Определение

Параллельные прямые — две прямые, которые не пересекаются на плоскости.

Для обозначения используется знак \(\parallel\). К примеру, \(a\parallel b\).

Параллельные прямые
 

Отрезки и лучи, лежащие на параллельных прямых, тоже называются параллельными.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Через точку, которая не лежит на данной прямой, проходит только одна параллельная прямая относительно заданной.

Для того чтобы определить параллельные прямые в трехмерном пространстве, важно учитывать, чтобы они лежали в одной плоскости.

Признаки параллельности прямых

Теорема 1

Теорема

Прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы равны.

Докажем формулировку на примере задачи из геометрии.

Дано

\(a\) и \(b\) — прямые, \(AB\) — секущая, \(\angle1=\angle2\)\(\angle1\) и \(\angle2\) — накрест лежащие.

Доказать\(a\parallel b\).

Доказательство

Пример 1

Допустим, \(\angle1=\angle2=90^\circ\). Так как углы прямые — \(a\perp AB\) и \(b\perp AB\). Отсюда следует, что \(a\parallel b\).

Перпендикуляр
 

Пример 2

Допустим, \(\angle1\) и \(\angle2\) не являются прямыми. Тогда из середины отрезка \(AB\) (обозначим ее точкой \(O\)) проведем перпендикуляр к прямой a и обозначим его, как \(OH\). Продолжим \(OH\) до прямой \(b\). Точку пересечения отметим, как \(H_1\).

Получившиеся треугольники \(OHA\) и \(OH_1B\) равны, так как:

  • \(\angle3=\angle4\) — вертикальные;
  • \(AO = OB\), так как \(O\) — середина отрезка;
  • \(\angle1=\angle2\) — по условию.
Пример 2
 

Отсюда следует, что \(\angle5=\angle6\), и они прямые. Такой вывод можно сделать из того, что по построению \(OH\perp a\).

Так как \(HH_1\perp a\) и \(HH_1\perp b\), то \(a\parallel b\).

Теорема 2

Теорема

Прямые параллельны, если при пересечении их секущей соответственные углы равны.

Дано

\(a\) и \(b\) — прямые, \(AB\) — секущая, \(\angle1=\angle2\)\(\angle1\) и \(\angle2\) — соответственные.

Доказать\(a\parallel b\).

Доказательство

\(\angle2=\angle3\) — это следует из того, что углы вертикальные.

А так как по условию \(\angle1=\angle2\), получается, что \(\angle1=\angle3\). При этом они накрест лежащие. Следовательно, равенство доказывает, что \(a\parallel b\) (по теореме 1).

Теорема 2
 

Теорема 3

Теорема

Прямые параллельны, если при пересечении их секущей сумма односторонних углов равна \(180^\circ\).

Дано

\(a\) и \(b\) — прямые, \(AB\) — секущая, \(\angle1+\angle2=180^\circ\)\(\angle1\) и \(\angle2\) — односторонние.

Доказать\(a\parallel b\).

Доказательство

\(\angle3+\angle2=180^\circ\), так как они смежные.

Следовательно, \(\angle3=180^\circ-\angle2\).

Теорема 3
 

\(\angle1+\angle2=180^\circ \)— по условию.

Следовательно, \(\angle1=180^\circ-\angle2\).

Отсюда вывод: \(\angle1=\angle3\).

А поскольку они накрест лежащие, это свойство дает право утверждать, что \(a\parallel b\) (по теореме 1).

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»