Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Что такое тригонометрическая форма комплексного числа

Существуют разные форматы представления чисел. Полезно обладать теоретическими знаниями и прикладными навыками, чтобы быстро и без ошибок переводить одну форму записи в другую для поиска результата их сложения, произведения, нахождения суммы, доказательства теорем, неравенств, разложения на компоненты. В разных научных областях знаний распространен тригонометрический вариант представления числа, в том числе, такого, которое соответствует множеству комплексных. Рассмотрим основные понятия по теме и характерные приемы для простого решения заданий и примеров.

В результате получаем несложное выражение для преобразования комплексного числа в формат тригонометрической записи. Подобное правило пригодиться в дальнейшем при решении задач по алгебре, геометрии, физике и другим предметам.

Геометрическое представление комплексного числа

Изобразим прямоугольную координатную систему на некоторой плоскости. В таких условиях для какого-либо комплексного числа в записи z=x+iy несложно отметить точку с координатами:

\(\left\{ x, y \right\}\)

Введем понятие радиус-вектора и отметим его как r. Этот вектор соединяет точку отсчета координат и точку, принадлежащую плоскости и выражающей рассматриваемое число. Перенесем рассмотренные обозначения на рисунок. Получим схематичное представление такого вида:

 

Заметим, что такую плоскость именуют комплексной. Ось по горизонтали включает в себя числа из множества действительных. На оси, ориентированной вертикально, размещены мнимые части.

Свойства модуля

В том случае, когда число z из множества действительных, модуль этого числа \(r=|z|\) соответствует абсолютной величине рассматриваемого действительного числа.

Перечислим ключевые свойства, характерные для модуля:

• \(|z| \geq 0\)
• |z|=0 в том и только том случае, если z=0
• \(|z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|\)
• \(|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|\)
• \(|z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|\)
• \(|z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}\), то есть модуль результата вычитания пары комплексных чисел можно вычислить как расстояние, на которое удалены рассматриваемые числа в рамках комплексной плоскости.

Свойства аргумента

Угол \(\varphi\), единицами измерения которого являются радианы, радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу z, расположенному на комплексной плоскости, представляет собой аргумент числа z, то есть:

\(\varphi = \arg z\)

С помощью записанной формулы легко выразить х и у:

\(x = r \cos \varphi\)

\(y = r \sin \varphi.\)

Перечислим свойства, которыми обладает аргумент:

• \(tg\varphi = \frac{y}{x}\);
• \(ctg\varphi = \frac{x}{y}\);
• \(sin\varphi = \frac{y}{r}\).

Ключевое значение аргумента:

\(\varphi \in (-\pi; \pi]\)

В случае, когда расчеты выполняют с обратным числом, целесообразно применять следующую закономерность:

\(\arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z \)

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Известно, что числа допустимо складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, а также извлекать из них корень. Все эти действия уже знакомы еще с начальной и средней школы. Тогда решать примеры приходилось лишь с числами, которые записаны в обычной форме. Однако, если формат тригонометрический, то это не означает невозможность совершения с числами алгебраических операций. Разберем наиболее актуальные и часто встречающиеся действия.

Комплексные числа можно сравнивать между собой. Предположим, что имеется пара таких чисел:

\(z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1})\)

\(z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2})\)

Рассматриваемые числа равны между собой при выполнении следующего условия:

\(|z_{1}|=|z_{2}|\)

\(\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n\)

\(n \in Z.\)

Комплексные числа, которые записаны в тригонометрическом формате, допустимо умножать. При этом следует использовать следующее выражение:

\(z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2}))\)

Вычислить частное от деления пары комплексных чисел целесообразно с помощью такого равенства:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2}))\)

С целью возведения комплексного числа в какую-либо степень, если они записаны в тригонометрической форме, можно использовать такую формулу:

\(z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi)\)

Примеры решения задач

В процессе решения заданий с комплексными числами, которые представлены в тригонометрическом формате, целесообразно следовать стандартному алгоритму действий. В первую очередь полезно определить, в какой форме записано то или иное число из условия задачи. Далее рекомендуется обратить внимание на вид действия с этим числом. К примеру, может потребоваться выполнить умножение или найти модуль. Рассмотренные выше закономерности помогут быстро справиться с заданиями любой сложности.

Решение

Воспользуемся принципом, озвученным в теоретической части. Запишем действительную и мнимую части для заданного комплексного числа:

\(x = {Re } z=1\)

\(y = {Im } z=-1\)

Далее вычислим, чему равен модуль:

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\)

Затем определим значение для аргумента и запишем его:

\(\varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-1}{1} = \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}\)

В результате тригонометрическая форма записи примет следующий вид:

\(z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right).\)

Ответ: \(z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right).\)

 

Решение

Запишем действительную часть:

\(x = {Re } z = 3\)

При этом мнимая часть соответствует:

\(y = \text{Im } z=-25\)

Таким образом, можно рассчитать модуль:

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-25)^{2}}=\sqrt{634}\)

Ответ: \(r=\sqrt{634}.\)

Решение

В первую очередь запишем, чему равны представленные в задаче числа по модулю:

\(r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{2}\)

\(r_{2}=\sqrt{0^{2}+25^{2}}=25\)

Далее можно приступить к умножению. При этом важно помнить о замечательном правиле, записанном выше в списке действий с комплексными числами. Сформулируем его и подставим значения из условия задачи:

\(r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2}\)

Ответ:  \(r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2}.\)

Задача 4

Решение

Руководствуясь уже известным алгоритмом действий, выполним необходимые вычисления и запишем ответ. В первую очередь определим, что речь в задании идет о комплексных числах. Рассмотрим их внимательнее. Данные числа представлены в тригонометрическом формате. Воспользуемся закономерностью, применимой в этом случае:

\(z_{1} \cdot z_{2} = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)\)

Ответ: \(2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right).\)