Как перевести градусы в радианы

Градусы в радианы

Краткое описание

Угол — это два луча, выходящие из одной точки. Эта точка называется вершиной. Взяв за единицу измерения некий конкретный угол, можно определить величину любого угла, выяснив, сколько раз в нем укладывается такой единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств:

  1. Величины равных углов равны.
  2. Величина суммы двух углов равна сумме их величин.

Если ясно, о чем идет речь, вместо «величина угла» говорят просто «угол».

Равные углы с вершиной в центре окружности будут создавать на ней дуги одинаковой длины. Их сумма будет равняться сумме стягиваемых ими дуг. Поэтому единицы измерения углов можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В чем можно измерять угол

Наиболее распространены две единицы измерения:

  • градус, равный дуге в 1/360 всей окружности;
  • радиан — центральный угол, высекающий дугу, равную радиусу окружности.

Существуют еще такие единицы измерения, как град, равный 1/100 прямого угла, оборот, равный полному кругу, тысячная — \(\frac1{2\mathrm\pi\;\times\;1000}\) и румб — 1/32 полной окружности.

Связь между градусами и радианами

Мера угла

На практике чаще всего используют градусы. Их обозначают знаком \(^\circ\;\).

1/60 градуса — минута, обозначаемая знаком '. Секунду обозначают знаком '', она составляет 1/3600 доли.

Математики и астрономы предпочитают пользоваться радианом, безразмерной величиной. Это удобнее при рассмотрении тригонометрических функций. Обозначение «рад» при этом обычно опускают. Радиан равен примерно \(57^\circ17'45''\).

Формула соотношения

Длина дуги, высекаемой углом в a радиан на окружности радиуса R, вычисляется умножением a на R, а для единичной окружности длина дуги и величина угла совпадают.

Так как радиус равен единице, длина единичной окружности будет равна \(2\mathrm\pi\).

Таким образом, связь радиан и градусов можно выразить формулой

\(1\;\mathrm{радиан}\;=\;\frac1{\left(2\mathrm\pi\right)}\;\mathrm{оборотов}\;=\;\frac{180}{\mathrm\pi}\;\mathrm{градусов}\;=\;\frac{200}{\mathrm\pi}\;\mathrm{градов}\)

Формулы перевода

Градусы в радианы

Осуществить переход от градусов к радианам можно по формуле

\(\mathrm х^\circ\;=\;\frac{\pi\;\times\;а\;рад}{180^\circ}\)

Радианы в градусы

\(а\;рад\;=\;х^\circ\;\times\;(\;\frac{\mathrm\pi}{180^\circ})\)

Таблица перевода градусов в радианы

Соотношение двух систем измерения на окружности можно наглядно увидеть на схеме:

Радианы и градусы на окружности
 

Но на практике, чтобы преобразовать одну величину измерения в другую, удобнее пользоваться таблицей:

Таблица радианов и градусов
 

Примеры расчета градусов и минут в радианы

Пример 1

Перевести 35 градусов в радианы.

Решение

Согласно формуле, нам нужно 35 умножить на число пи и разделить на 180.

\(х\;рад\;=\;35^\circ\;\times\;(\;\frac{\mathrm\pi}{180^\circ})\;\approx\;35^\circ\;\times\;(\;\frac{3,1416}{180^\circ})\;\approx\;0,6108\\35^\circ\;=\;0,6108\;рад\)

Чтобы выполнить перевод минут и секунд, нужно сначала перевести их в градусы.

Пример 2

Перевести в радианы угол \(87^\circ14'21''\).

Решение

\(1^\circ\;=\;60'\;=\;3600''\)

\(87^\circ+\;\frac{14'}{60}\;+\;\frac{21''}{3600}\;=\;87^\circ\;+\;0,2333^\circ\;+\;\;0,0058^\circ\;=\;87,239^\circ\)

Воспользуемся формулой, подставив найденное значение:

\(х\;рад\;=\;87,239^\circ\;\times\;(\;\frac{\mathrm\pi}{180^\circ})\;\approx\;87,239^\circ\;\times\;(\;\frac{3,1416}{180^\circ})\;\approx\;1,5226\\87,239^\circ\;=1,5226\;рад\)

Пример 3

Перевести в радианы угол \(194^\circ19'\).

Решение

\(1^\circ\;=\;60'\;=\;3600''\)

\(194^\circ+\;\frac{19'}{60}\;=\;194^\circ\;+\;0,3166^\circ\;=\;194,3166^\circ\)

\(х\;рад\;=\;194,3166^\circ\;\times\;(\;\frac{\mathrm\pi}{180^\circ})\;\approx\;194,3166^\circ\;\times\;(\;\frac{3,1416}{180^\circ})\;\approx\;3,3915\\194,3166^\circ\;=3,3915\;рад\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»