Измерение объёма тела по формуле — возможные способы, единицы измерения
Понятие объема тела
Объем является количественным параметром пространства, занятого телом или веществом.
Термин объема можно рассматривать совместно с понятием вместимости. Это обозначение для объема какого-то внутреннего пространства сосуда, коробки и тому подобного. Объем тела, как и вместимость некой емкости, зависит от таких характеристик, как:
- форма;
- линейные размеры.
Главным свойством объема принято считать аддитивность.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Аддитивность означает равенство объема какого-либо тела сумме объемов частей этого тела, которые не пересекаются между собой.
Согласно СИ, единицей измерения объема является метр кубический (м³). В процессе решения задач можно встретить единицы измерения объемов тел в виде см³, дм³, или литров. В иностранной литературе также используются указания объемов веществ, находящихся в жидком или сыпучем состоянии, в таких единицах измерения, как, например, галлон, баррель и другие.
Величина объема используется при составлении различных уравнений и неравенств. При этом данный параметр обозначают с помощью буквы V. Это сокращение от латинского слова volume, которое в переводе означает объем или наполнение.
Свойства объема тела
В процессе решения разнообразных задач по физике, алгебре и геометрии целесообразно использовать свойства, которыми обладает объем тела. Перечислим основные из них:
- Объем тела не может быть отрицательной величиной.
- В том случае, когда некое геометрическое тело состоит из определенного количества геометрических тел, не обладающих едиными внутренними точками, объем такого тела складывается из объемов составляющих его тел.
- Объем фигуры в виде куба с ребром, значение которого равно единице измерения длины, равен единице.
- Аналогичные друг другу геометрические тела обладают одинаковыми объемами.
- В том случае, когда тело имеет объем V1 и расположено в другом теле с объемом V2, справедливо следующее соотношение: \(V1<V2 \).
Как вычислить объем тела: все формулы
Существует практический способ определения объема тела, включая тела, обладающие сложной формой и геометрией. Данная методика основана на законе Архимеда и предполагает погружение рассматриваемого тела в некую жидкость. По результатам следует измерить объем вытесненной телом жидкости. Данная величина равна объему измеряемого тела.
Формула расчета объема тела, исходя из известных величин массы и плотности:
\(V={\frac {m}{\rho }}\)
Здесь m определяется, как масса, а \rho является средней плотностью тела.
В том случае, когда тела обладают простыми геометрическими формами, в решении задач допустимо использовать специальные формулы. К примеру, для того чтобы найти объем куба, ребро которого равно а, следует применить такую формулу: \(V=a^{3}\).
Вычислить объем некого прямоугольного параллелепипеда можно путем умножения длины, ширины и высоты. Запишем другие распространенные формулы для расчета объемов геометрических фигур:
- куб, формула объема: \(V=a^{3}\):
- прямоугольный параллелепипед, формула объема: \(V=abc\) (произведение длин трех сторон):
- призма, формула объема: \( V=Bh\) (произведение площади основания и высоты):
- пирамида, формула объема: \(V={\frac {1}{3}}Bh:\)
- параллелепипед, формула объема: \(V=abc{\sqrt {K}}, {\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}: \)
-
![параллелепипед, формула объема]( "параллелепипед, формула объема")
- тетраэдр, формула объема: \(V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\:\)
- шар, формула объема: \(V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\):
- эллипсоид, формула объема: \(V={\frac {4}{3}}\pi abc\):
- прямой круговой цилиндр, формула объема: \(V=\pi r^{2}h\):
- конус, формула объема: \(V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\):
- тело вращения, формула объема: \(V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x\):
В том случае, когда необходимо определить объем, которым обладает некое тело, имеющее сложную форму, нужно разбить мысленно данное тело на отдельные части. Такие части целого должны иметь простую форму. Далее следует сложить вычисленные объемы простых тел. Результат будет являться значением объема начального тела.
Примеры решения задач
Задача 1
Имеется пара шаров. Радиус первого шара в 5 раз превышает радиус второго шара.
Требуется определить, во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше по сравнению с площадью поверхности первого шара
Решение
Рассчитать площадь поверхности можно по формуле:
\(S=4\pi R^2\)
Тогда запишем отношения площадей пары шаров:
\(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{4\pi \, R_1^2}{4\pi \, R_2^2}\)
Сравним радиусы геометрических фигур:
\(R_1=5R_2\)
В результате:
\(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25\)
Таким образом, первый шар имеет площадь поверхности, которая в 25 раз больше по сравнению с аналогичной характеристикой второго шара.
Ответ: 25.
На рисунке изображены конусы. Назовем их \(K_1\) и \(K_2\).
Полная поверхность \(K_1\) по площади относится к площади полной поверхности \(K_2\) как 4:1.
Фигура \(K_1\) обладает радиусом, который в 4 раза больше образующей \(K_1\) и в 2 раза больше радиуса \(K_2\).
Требуется вычислить, как относится образующая \(K_2\) к образующей \(K_1.\)
Решение
Представим, что образующая конуса равна 1, а радиус основания обозначим, как R. Тогда можно записать следующее соотношение:
\(S=\pi R (R+l)\)
Запишем отношения площадей полной поверхности заданных конусов:
\(\dfrac41=\dfrac{\pi \,R_1\cdot (R_1+l_1)}{\pi \, R_2\cdot (R_2+l_2)}\)
Согласно условию задачи, имеем:
\(R_1=4l_1, R_2=\frac12R_1=2l_1\)
В результате:
\(\dfrac41=\dfrac{4l_1\cdot (4l_1+l_1)}{2l_1\cdot (2l_1+l_2)} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{l_2}{l_1}=\dfrac12=0,5\)
Ответ: 0,5.
Даны два прямоугольных параллелепипеда. Объем первой фигуры равен 105. Известно, что первый параллелепипед по высоте превышает второй в 7 раз. Ширина второй фигуры в 2 раза больше по сравнению с аналогичным параметром первой фигуры. Первый параллелепипед длиннее в три раза, чем второй. Необходимо вычислить объем, который имеет второй параллелепипед.
Решение
Обозначим высоту, ширину и длину геометрических фигур с помощью букв а, b, с соответственно. Вспомним формулу, по которой можно найти объем прямоугольного параллелепипеда:
V=abc
Применительно к нашей задаче, запишем:
\(\dfrac{105}{V_2}=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}\)
Известно, что:
\(a_1=7a_2, b_2=2b_1, c_1=3c_2\)
В результате:
\(\dfrac{105}{V_2}=\dfrac{7a_2\cdot b_1\cdot 3c_2}{a_2\cdot 2b_1\cdot c_2}= \dfrac{7\cdot 3}2 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{105\cdot 2}{21}=10\)
Ответ: 10.
Даны два конуса. Площадь боковой поверхности первой геометрической фигуры относится к площади боковой поверхности второй фигуры как 3:7. Первый конус обладает радиусом, который относится к радиусу второго конуса, как 15:7. Необходимо определить, как относится образующая первого конуса к образующей второго конуса.
Решение
Составим формулу для расчета площади боковой поверхности конуса:
\(S=\pi Rl\)
Запишем отношения площадей боковых поверхностей для первого и второго конусов:
\(\dfrac 37=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi R_1\,l_1}{\pi R_2\,l_2}\)
Зная, что отношение радиусов двух геометрических фигур равно 15:7, получим:
\(\frac{R_1}{R_2}=\frac{15}7, то \dfrac37=\dfrac {15}7\cdot \dfrac{l_1}{l_2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac37\cdot \dfrac7{15}=\dfrac15=0,2\)
Ответ: 0,2.
Имеется пара шаров. Объем первой фигуры составляет 54. Радиус второй фигуры в 3 раза меньше по сравнению с радиусом первой. Нужно определить объем второго шара.
Решение
Запишем формулу, согласно которой можно определить объем шара:
\(V=\dfrac43 \pi R^3\)
Составим отношение объемов двух фигур:
\(\dfrac{54}{V_2}=\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{\frac43 \pi \,R_1^3}{\frac43 \pi \,R_2^3}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\)
По условиям задачи:
\(R_1=3R_2\)
В результате:
\(\dfrac{54}{V_2}=\left(\dfrac{3R_2}{R_2}\right)^3=27 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{54}{27}=2\)
Ответ: 2.
Имеется некая емкость конусообразной формы. Ее заполнили до половины с помощью 75 гр жидкости. Необходимо вычислить вес жидкости, которую нужно добавить в емкость, чтобы заполнить ее до верхнего края.
Решение
Вспомним формулу объема из курса физики:
\(V=\frac{m}{\rho}\)
Предположим, что O является центром основания большего конуса. Пусть Q — центр основания меньшего конуса, а S обозначает общую вершину данных фигур. В одной плоскости построим радиусы OA и QB:
В таком случае:
\(QB\parallel OA\)
\(\triangle SQB\sim \triangle SOA\)
В результате:
\(\dfrac{OA}{QB}=\dfrac{OS}{QS}=\dfrac21\)
Получим, что:
\(m_{\small{\text{ж}}}=V_{\small{\text{ж}}}\cdot \rho= \dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2 \cdot \rho\)
Можно сделать вывод, что:
\(m=V\rho=\dfrac13\cdot \pi\cdot OS\cdot OA^2\cdot \rho= \dfrac 13\cdot \pi\cdot 2QS\cdot (2QB)^2\cdot \rho= 8\cdot \left(\dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2\cdot \rho\right)=8\cdot 75=600 \ {\small{\text{грамм}}}\)
Таким образом, потребуется долить в емкость:
\(600-75=525 \ {\small{\text{грамм}}}\)
Ответ: 525.
Изображена четырехугольная пирамида. Ее высота равна h. Отметим точку сбоку на ребре геометрической фигуры так, чтобы она была удалена на \frac13h от плоскости основания. Данную точку пересекает плоскость, которая параллельна плоскости основания и отделяет от пирамиды аналогичную фигуру меньшего размера. Объем начальной пирамиды равен 54. Требуется вычислить объем меньшей пирамиды, которая получилась в результате.
Решение
Назовем точку, через которую проведена плоскость, A' на ребре AS. Параллельность плоскости и основания является причиной пересечения боковых граней по прямым A'B', \ B'C', \ C'D', \ D'A', параллельным соответственно AB, \ BC, \ CD, \ DA. В этом случае SA'B'C'D' является правильной четырехугольной пирамидой.
Исследуем плоскость ASO. Построим \(A'H\parallel SO\), где SO представляет собой высоту начальной фигуры. В таком случае:
\(A'H\perp ABC\)
В результате получилось расстояние, которое равно \(\frac13SO:\)
\(\triangle AA'H\sim \triangle ASO\)
\(\dfrac{SA}{AA'}=\dfrac{SO}{A'H}=3 \quad\Rightarrow\quad SA=3AA' \quad\Rightarrow\quad SA'=\dfrac23SA\)
Таким образом:
\(SQ=\frac23SO\)
\(\triangle ASB\sim \triangle A'SB'\)
Получим, что:
\(\dfrac23=\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{A'B'}{AB} \quad\Rightarrow\quad A'B'=\dfrac23AB\)
Запишем отношения объемов пирамид:
\(\dfrac{V_{{\small{\text{м}}}}}{V_{\small{\text{б}}}}= \dfrac{\frac13\cdot SQ\cdot A'B'^2}{\frac13\cdot SO\cdot AB^2}=\dfrac{SQ}{SO}\cdot \left(\dfrac{A'B'}{AB}\right)^2=\dfrac23\cdot \left(\dfrac23\right)^2=\dfrac8{27}\)
В результате объем малой фигуры составит:
\(V_{{\small{\text{м}}}}=\dfrac8{27}\cdot 54=16\)
Ответ: 16.
Задания для самостоятельной работы
Имеется пара конусов. Вторая фигура обладает радиусом, который в три раза больше по сравнению с радиусом первой фигуры. Второй конус выше первого в шесть раз. Объем второй фигуры равен 18. Требуется вычислить, чему равен объем первого конуса.
Решение
Формула определения объема конуса:
\(V=\frac13\pi R^2h\)
Запишем отношения объемов двух фигур:
\(\dfrac{V_1}{18}=\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{\frac13\pi \,R_1^2\,h_1}{\frac13 \pi \,R_2^2\,h_2}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{h_1}{h_2}\)
Исходя из условий задачи:
\(R_2=3R_1\)
\(h_1=6h_2\)
В результате:
\(\dfrac{V_1}{18}=\left(\dfrac{R_1}{3R_1}\right)^2\cdot \dfrac{6h_2}{h_2}= \dfrac19\cdot 6=\dfrac23 \quad\Rightarrow\quad V_1=\dfrac23\cdot 18=12\)
Ответ: 12
Дано два шара. Объем первого шара в 343 раза больше по сравнению с объемом второго шара. Нужно вычислить, во сколько раз радиус первой фигуры больше, чем радиус второй фигуры.
Решение
Запишем формулу для нахождения объема шара:
\(V=\dfrac43 \pi R^3\)
Составим отношения объемов данных шаров:
\(\dfrac{343}1=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac43 \pi \, R_1^3}{\frac43 \pi \, R_2^3}= \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{R_1}{R_2}=\sqrt[3]{343}=7\)
Сделаем вывод, что радиус первого шара в 7 раз больше по сравнению с радиусом второго шара.
Ответ: 7.
На рисунке изображены два цилиндра. Первый из них обладает площадью боковой поверхности, равной 16. Радиус второй фигуры больше в 4 раза по сравнению с радиусом первой фигуры. Второй цилиндр ниже, чем первый цилиндр, в 5 раз. Требуется вычислить площадь боковой поверхности второго цилиндра.
Решение
Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра, которую уже проходили ранее:
\(S=2\pi RH\)
Составим отношение площадей боковых поверхностей двух фигур:
\(\dfrac{16}{S_2}=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{2\pi \,R_1\,H_1}{2\pi \,R_2\,H_2}= \dfrac{R_1}{R_2}\cdot \dfrac{H_1}{H_2}\)
В результате:
\(R_2=4R_1, H_1=5H_2\)
Таким образом:
\(\dfrac{16}{S_2}=\dfrac{R_1}{4R_1}\cdot \dfrac{5H_2}{H_2}= \dfrac14\cdot 5=\dfrac54\)
Получим, что:
\(S_2=\dfrac{16\cdot 4}5=12,8\)
Ответ: 12,8.
Имеется некая емкость конусообразной формы. Объем этой емкости составляет 2700 мл. Требуется рассчитать количество жидкости, налитой в емкость, если ее уровень в 3 раза меньше по сравнению с высотой емкости.
Решение
Введем обозначения, как на рисунке:
В таком случае:
\(QB\parallel OA и \triangle SQB\sim \triangle SOA\)
Таким образом:
\(\dfrac{QB}{OA}=\dfrac{QS}{OS}=\dfrac13\)
Соотношение объемов жидкости до определенной линии и емкости:
\(\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{2700}=\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{V}= \dfrac{\frac13\cdot \pi\cdot QB^2\cdot QS}{\frac13\cdot \pi \cdot OA^2\cdot OS}= \left(\dfrac{QB}{OA}\right)^2\cdot \dfrac{QS}{OS}=\dfrac19\cdot \dfrac13=\dfrac1{27}\)
В результате:
\(V_{\small{\text{ж}}}=\dfrac1{27}V=100\)
Ответ: 100.
На рисунке изображены фигуры в виде шаров. Первый шар имеет радиус 6. Второй шар имеет радиус 2. Нужно вычислить, во сколько раз объем первой фигуры превышает объем второй фигуры.
Решение
Запишем формулу для расчета объема шара, который не может изменяться:
\(V=\dfrac43 \pi R^3\)
Составим отношение объемов двух шаров:
\(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac43 \pi \cdot 6^3}{\frac43 \pi \cdot 2^3}= \left(\dfrac62\right)^3=27\)
В результате объем первого шара в 27 раз больше по сравнению с объемом второго шара.
Ответ: 27.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
