Период колебаний

Что такое колебательный процесс 

Исходя из физической природы, колебательные процессы бывают механического, электромагнитного и других видов.

При механических колебаниях, которые относят к категории вынужденных:

\(F=F_{0}\cos \cot\)

Разные периодические процессы, повторяющиеся в течение равных временных интервалов, могут быть записаны в виде суммы или суперпозиции гармонических колебаний.

Определение периода колебаний, формула

Колебательный процесс можно представить в виде уравнения. Тогда гармоническое колебание значения х будет представлено следующей формулой:

\(x(t)=A\times \cos \left(\omega _{0}t+\phi _{0} \right)\)

Где \(x(t)\) является отклонением колеблющейся физической величины от равновесного значения;

А представляет собой амплитуду гармонических колебаний;

\(\omega _{0}\) равно циклической или круговой частоте колебаний;

\(\phi _{0}\) является начальной фазой колебаний, характерной для момента времени t=0, что можно определить с помощью выбора начала отсчета времени;

\(cp(t)=(co_{0}t+cp_{0})\) описывает фазу колебаний в момент времени t, определяется в радианах, соответствует значению колеблющейся величины в данное время.

В случае, когда имеется какая-либо материальная точка с массой m, характеристика х будет соответствовать смещению тела из равновесного положения. Следует заметить, что амплитуда и частота гармонических колебаний обладают постоянными значениями. Исходя из того, что cos меняет значение в интервале от +1 до -1, параметр х будет изменяться от +А до –А. Так как:

\(\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha,\)

то х остается без изменений при фазе колебаний, получающей приращение в $$2\pi$$

В этом случае фаза будет увеличена на \(2\pi:\)

\(\omega _{0}(t+T)+\phi _{0}=\left(\omega _{0}t+\phi _{0} \right)+2\pi\)

Из данного равенства можно вычислить период колебаний:

\(T=\frac{2\pi }{\omega _{0}}\)

Частота колебаний v является величиной, которая обратна периоду колебаний. Это количество полных колебаний, выполняемых за единицу времени:

\(v=\frac{\omega _{0}}{2\pi}\)

 

На графике изображены гармонические колебания, где а — зависимость смещения х от времени /, б — зависимость скорости vx от времени С, в — зависимость ускорения ах от времени t.

Единицей частоты в СИ является герц (Гц). Это частота периодического периода, в котором в течение 1 секунды выполняется одно полное колебание.

Можно представить, что материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания, относительно оси Х около равновесного положения, которое является началом отсчета координат. Так как движения частицы колебательные, ей присуще скорость и ускорение. Характеристики данного процесса будут записаны таким образом:

Смещение \(x=A\times \cos \left(\omega _{0}t+\phi _{0} \right)\)

Скорость \(v_{x}=\dot{x}=-A\omega _{0}\times \sin \left(\omega _{0} t+\phi_{0} \right)=A\omega _{0}\times \cos \left(\omega _{0} t+\phi_{0} +\frac{\pi }{2}\right)\)

Ускорение

\(a_{x}=\dot{v_{x}}=\ddot{x}=-A\omega _{0}\times \cos \left(\omega _{0} t+\phi_{0} \right)=A\omega _{0}^{2}\times \cos \left(\omega _{0} t+\phi_{0} +\pi \right)\)

Как найти период для физического маятника

В случае, когда углы отклонения \(\varphi\) небольшие, физический маятник будет совершать гармонические колебания. Можно считать его вес, приложенным к центру тяжести в точке С. Сила возврата маятника в равновесное положение является составляющей силы тяжести — сила F:

\(F=mg\times \sin \varphi\)

Отрицательное значение правой части уравнения означает, что сила F ориентирована по направлению уменьшения угла \(\alpha\)

Учитывая малый угол \(\varphi\) уравнение можно записать в следующем виде:

\(F=mg\times\varphi\)

С помощью основного уравнения динамики, описывающее вращательное движение, можно вывести закон движения физического маятника:

\(J=ml^{2}\)

При условии невозможности определения момента силы в явном виде, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника будет записано в такой форме:

\(\frac{d^{2}\varphi }{dt^{2}}+\frac{mgl}{J}\varphi =0\)

В результате сравнения полученного выражения и уравнения гармонических колебаний, получим:

\(\alpha _{x}(t)+\omega ^{2}x(t)=0\)

Таким образом, получается, что формула циклической частоты пружинного маятника имеет следующий вид:

\(\omega =\sqrt{\frac{mgl}{J}}\)

В таком случае для расчета периода колебаний математического маятника будет использоваться формула:

\(T =\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}}\)

Исходя из расчетов, можно сделать следующие выводы:

1. Период пружинного маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
2. Период математического маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)
3. Период крутильного маятника \(T =2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\)

В приведенных формулах:

• T — период физического маятника;
• J — момент силы маятника относительно оси вращения;
• l — расстояние от оси вращения до центра масс;
• m — масса маятника;
• g=9.8 — ускорение свободного падения.

Примеры решений

Решение

\(T =\frac{t}{N}=\frac{120}{60}=2\)

\(V=\frac{1}{T}=\frac{1}{2}=0.5\)

Ответ: период колебаний маятника равен 2 секундам, а частота составляет 0,5 Гц.

 

Решение

А = 20

Т = 0,8

\(V=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,8}=1,25\)

\(x(t)=A\sin 2\pi Vt=0.2\sin 2\pi \times 1.25t=0.2\sin 2.5\pi t\)

Ответ: амплитуда колебаний маятника составляет 0,2 метра, период колебаний соответствует 0,8 с, частота колебаний равна 1,25 Гц, уравнение координаты будет записано в следующем виде: \(x(t)=0.2\sin 2.5\pi t\)

Решение

Период колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

\(T =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)

Согласно определению:

\(V=\frac{1}{T}\)

Тогда:

\(T=\frac{1}{V}\)

Получим равенство:

\(\frac{1}{V}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)

Для того чтобы выразить длину маятника, необходимо возвести обе части равенства в квадрат:

\(\frac{1}{V^{2}}=4\pi ^{2}\times \frac{l}{g}\Rightarrow l=\frac{g}{4\pi ^{2}V^{2}}\)

\(l=\frac{1.5}{4*3.14 ^{2}*0.5^{2}}\approx 0.16\)

Ответ: длина математического маятника примерно составляет 0,16 метра.