Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции — история открытия, в чем суть

На проводник с током, находящийся в магнитном поле, воздействует сила Ампера, которую можно выразить в виде векторного произведения:

\(d\overrightarrow F\;=\;Id\overrightarrow l\;\times\;\overrightarrow B\)

Величина В здесь — магнитная индукция, силовая характеристика магнитного поля. Она определяет силу, с которой магнитное поле воздействует на заряд.

Основной вклад Фарадея в физику электромагнитных явлений заключается в отказе от ньютонова принципа дальнодействия и во введении понятия поля — пространства, сплошь заполненного силовыми линиями.

Фарадей опытным путем выяснил, что при каждом пересечении проводника с магнитными силовыми линиями по проводнику проходит заряд \(\triangle Q\). С числом \triangle Ф пересеченных линий магнитного поля его связывает следующая зависимость:

\(\triangle Q\;=\;\alpha\frac{\triangle Ф}R\)

\(\alpha\) здесь — коэффициент пропорциональности, Ф — магнитный поток. Единица измерения магнитного потока — вебер.

Это соотношение считается количественным выражением закона индукции.

Максвелл решил придать закону Фарадея математическую форму. Представив замкнутый контур С, в котором действует электродвижущая сила индукции \(\varepsilon_i\), Максвелл, чтобы высчитать количество линий магнитного поля \(\triangle Ф\), соприкасающихся с контуром за время \(\triangle t\), отождествлял контур с поверхностью S, поделенной на элементарные площадки \(\triangle S\), и приравнял Ф к магнитному потоку сквозь всю поверхность. В итоге Максвелл получил следующее выражение:

\(Ф\;=\;\sum_{\triangle S}\;\;B\triangle S\)

Объединив это соотношение с законом Фарадея, Максвелл вывел собственную формулировку закона электромагнитной индукции:

\(\varepsilon_i\;=\;-\;\frac1с\;\times\;\frac{dФ}{dt}\)

Ленц добавил к закону Фарадея важное пояснение: индукционный ток в любом случае направлен так, чтобы противодействовать причине, которая его вызвала. Правило Ленца подтверждается на опыте, и энергия, если она сохраняется, не может быть отрицательной. Тогда следует считать коэффициент \(\alpha\) положительным, а в выражение добавить минус:

\(\varepsilon_i\;=\;-\;\alpha\frac{\triangle Ф}{\triangle t}\)

Для любого контура индуцированная электродвижущая сила пропорциональна скорости изменения магнитного потока в этом контуре, взятой со знаком минус.

Вывод закона с доказательством

Герман Гельмгольц первым вывел закон Фарадея из закона сохранения энергии. Представим проводник, перемещающийся в однородном магнитном поле, которое расположено под прямым углом к нему. Под воздействием силы Ампера F он сдвигается на расстояние dx. Сила F совершает работу dA = IdФ.

Прибавим к ней работу на джоулеву теплоту и получим выражение:

\(\epsilon Idt = I^{2}Rdt + IdФ\)

\(I = \frac{\epsilon - \frac{dФ}{dt}}{R}\)

Как выглядит формула закона электромагнитной индукции

\(\varepsilon_i\;=\;-\;\alpha\frac{\triangle Ф}{\triangle t}\)

Если проводник неподвижен, то индукционный ток вызывает само электрическое поле, это явление называется самоиндукцией. В соответствии с основной теоремой электростатики работа электростатического поля при переносе единичного заряда по замкнутой траектории равняется нулю. Значит, в проводнике возникает вихревое электрическое поле, работа которого равна электродвижущей силе индукции:

\(\varepsilon_i\;=\;\underset С{\oint\;}\;(\overrightarrow{Е\;}\times\;d\overrightarrow l)\\\)

Тогда закон записывается в интегральной форме так:

\(\;\underset С{\oint\;}\;(\overrightarrow{Е\;}\times\;d\overrightarrow l) = - \frac{1}{c}\frac{d}{dt}\int \underset S{\int\;}\;(\overrightarrow{B} \times d\overrightarrow{S})\)

Левая часть выражения описывает циркуляцию \(\overrightarrow{Е\;}\) по замкнутому контуру С. Правая часть — скорость изменения магнитного потока Ф, который вычисляется как интеграл по поверхности S, «натянутой» на контур С. 

Применение закона электромагнитной индукции на практике

В быту распространено использование этого явления для изменения величины напряжения тока в катушках индуктивности, или дросселях. Дроссели используют для подавления помех, ограничения переменного тока, накопления энергии и т. д.

В некоторых случаях, например, при очень маленьком размере электронной схемы, вместо катушек индуктивности используют специальные устройства — гираторы, которые заставляют электрические цепи проявлять индуктивные свойства.

Существуют также магнитные газовые генераторы, для создания тока в которых создается магнитное поле, в свою очередь создающее электродвижущую силу.

В учебных задачах часто требуется применение закона Фарадея, чтобы найти ЭДС, силу тока в проводнике или изменение магнитного потока. Рассмотрим на примере.

Задача 1

Магнитный поток, проходящий через контур, равномерно изменился за 5 секунд на 0,013 Вб. Сопротивление проводника равно 0,04 Ом. Найти силу тока.

Решение

Подставим известные значения в формулу закона Ома, учитывая закон Фарадея:

\(I_{i} = \frac{\epsilon_{i}}{R} = - \frac{\triangleФ} {\triangle t} \times \frac{1}{R}\)

\(I_{i} = \frac{0,013}{5\times0,04} = \frac{0,013}{0,2} = 0,065\)

Ответ: 0,065 А.

Задача 2 

Ток силой 6 Ампер течет по катушке, индуктивность которой L равна 8 мкГн. За время \({\triangle t},\) равное 5 мс, сила тока падает почти до нуля. Найти среднее значение электродвижущей силы самоиндукции.

Решение

\(Ф = L \times I\)

\(\epsilon_{i} = \frac{\triangleФ}{\triangle t} = - L \times \frac{\triangle I}{\triangle t}\)

Так как магнитный поток меняется только за счет падения силы тока, то

\(\epsilon_{i} = - L \times \frac{I}{\triangle t}\)

Подставим известные значения:

\(\epsilon_{i} = - 8\times 10^{-6} \times \frac{6}{5\times 10^{-3}} = - 9,6 \times 10^{-3}\)

Ответ: — 9,6 мВ.