Понятие зеркальной симметрии

Что такое зеркальная симметрия

То есть две разные геометрические фигуры можно считать зеркальными отражениями друг друга, хотя на первый взгляд они могут выглядеть совершенно по-разному.

Эта концепция была впервые представлена в физике в контексте теории струн, которая является теоретической основой, пытающейся объединить все фундаментальные силы и частицы Вселенной. Физики обнаружили, что определенные геометрические формы, возникающие в теории струн, известные как многообразия Калаби-Яу, имеют зеркальных партнеров, которые связаны между собой точным математическим способом. Зеркальная симметрия привела к важным открытиям в различных областях математики, включая теорию чисел, топологию и теорию представлений, а также нашла применение в физике и информатике.

Виды

В математике и физике существует два основных вида зеркальной симметрии:

1. Геометрическая: Этот тип предполагает изучение геометрических свойств пар фигур, которые являются зеркальным отражением друг друга. В алгебраической геометрии это часто достигается путем изучения пар многообразий Калаби-Яу, которые являются зеркальными партнерами.
2. Гомологическая: Этот тип зеркальной симметрии является более поздней разработкой и основан на математической концепции гомологии. Зеркальная симметрия имеет место между двумя различными математическими структурами — производными категориями, которые кодируют гомологические свойства изучаемых форм. Производные категории — это способ кодирования алгебраических структур, возникающих в геометрии, и они могут быть использованы для изучения широкого круга геометрических объектов, включая алгебраические многообразия и схемы. ГМС имеет множество важных приложений в математике и физике, включая изучение черных дыр, квантовой теории поля и алгебраической топологии.

Источник: dic.academic.ru

Оба типа сыграли важную роль в различных областях математики и физики и привели к множеству новых интересных открытий.

Свойства

Некоторые из ключевых характеристик зеркальной симметрии:

1. Двойственность между двумя геометрическими фигурами означает, что две фигуры имеют определенные свойства, которые являются взаимозаменяемыми. Определенные свойства одной фигуры соответствуют различным свойствам другой фигуры.
2. Выражается в терминах алгебраических отношений между изучаемыми фигурами. Эти отношения могут принимать различные формы, но они всегда точны и могут быть выражены математически.
3. Хотя многие организмы в той или иной степени обладают зеркальной симметрией, очень немногие из них идеально симметричны. Например, человеческие лица, как правило, не идеально симметричны, одна сторона часто немного отличается от другой.
4. Богатая математическая структура: имеет важное применение в физике и информатике.
5. Объединяет различные точки зрения на одни и те же геометрические фигуры. Показывая, что две формы являются зеркальными отражениями друг друга, зеркальная симметрия позволяет математикам и физикам изучать один и тот же объект под разными углами и с помощью разных методов.
6. Зеркальная симметрия сыграла важную роль в изучении теории струн — теоретической основы, которая пытается объединить все фундаментальные силы и частицы Вселенной. В частности, зеркальная симметрия привела к открытию новых физических явлений и позволила по-новому взглянуть на поведение черных дыр и других астрофизических систем.
7. Один из типов методов шифрования, называемый алгоритмом симметричного ключа, использует зеркальную симметрию для шифрования и расшифровки данных.
8. Магнитно-резонансная томография (МРТ) и компьютерная томография (КТ) применяют зеркальную симметрию для получения детальных изображений внутренних частей человеческого тела.
9. Многие художники и дизайнеры используют зеркальную симметрию для создания визуально приятных и гармоничных композиций.

В геометрии

Формулы

Зеркальная симметрия включает в себя различные формулы и уравнения из разных областей математики, включая алгебраическую геометрию, топологию и теорию струн. Вот некоторые примеры формул:

1. Формула для Эйлеровой характеристики многообразия Калаби-Яу: χ = ∫M c1 ∧ c1 ∧ c1 / 6, где M — многообразие Калаби-Яу, а c1 — первый класс Чженя.
2. Формула для зеркальной карты между двумя зеркальными многообразиями Калаби-Яу: q = exp(2πi z), где z — комплексная координата на одном многообразии Калаби-Яу, а q — комплексная координата на зеркальном многообразии Калаби-Яу.
3. Формула для инвариантов B-модели Громова-Виттена многообразия Калаби-Яу: 〈τa1...τan〉g,d = ∫[Mg,d] ev1τa1 ... evnτan, где Mg,d — модульное пространство стабильных отображений с римановой поверхности рода g на многообразие Калаби-Яу с d отмеченными точками, а ev1,...,evn — оценочные отображения в отмеченных точках.
4. Формула для инвариантов Громова-Виттена A-модели зеркального многообразия Калаби-Яу: 〈φa1....φan〉g,d = ∫[Xg,d] ev1φa1 ... evnφan, где Xg,d — модульное пространство стабильных отображений из римановой поверхности рода g в зеркальное многообразие Калаби-Яу с d отмеченными точками, а ev1,...,evn — оценочные карты в отмеченных точках.

Задачи

Справа изображен график параболы y = x2 - 2.

Источник: mathcentral.uregina.ca

Мы наблюдаем симметрию относительно оси y. Если провести зеркало вдоль оси y, парабола отразится сама в себе. Такая зеркальная симметрия известна как двусторонняя симметрия. На диаграмме это выглядит довольно ясно, но это не является доказательством того, что симметрия верна. Найдите убедительный аргумент в пользу того, что график двусторонне симметричен.

Решение: Высота графика в любой точке такая же, как высота в соответствующей точке по другую сторону зеркала. Что это означает алгебраически: возьмем конкретную точку: например, x=3. График в этой точке имеет высоту y = 32-2 = 7. Теперь назовите соответствующую точку на другой стороне — это точка x=-3. Какова высота в этой точке? Это y = (-3)2-2 = 9-2 = 7, как и раньше. 3 и -3 имеют одинаковый квадрат. Парабола двусторонне симметрична. То, что получилось для x=3, получится для любого значения x, потому что квадрат числа и квадрат его отрицательной части всегда одинаковы. Высота при x=a: Высота при x=-a: y = a2 - 2 y = (-a)2 - 2 = a2 - 2. График имеет одинаковую высоту при a и -a для любого a. Это говорит нам о том, что график двусторонне симметричен относительно оси y.

В природе

Зеркальная симметрия является важным понятием в биологии и изучении живых организмов. Многие организмы в природе демонстрируют билатеральную симметрию, которая представляет собой тип зеркальной симметрии, когда левая и правая стороны организма идентичны или почти идентичны. Это часто наблюдается у таких животных, как бабочки, птицы и млекопитающие, где левая и правая стороны тела имеют одинаковые органы, конечности и признаки.

Считается, что развитие билатеральной симметрии имеет эволюционные преимущества, такие как улучшение локомоции и координации. Симметрия также позволяет специализировать различные части тела, например, дифференцировать левое и правое полушария мозга.

Примеры в природе: листья деревьев, паутина, снежинки.
Примеры двусторонней симметрии у животных: Млекопитающие (человек, собака, кошка, лошадь, обезьяна, жираф, слон, тигр, летучая мышь, выдра, дельфин, кит). Рептилии (змея, игуана, бородатый дракон). Земноводные (лягушка, жаба, саламандра) и т.д.

Изучение зеркальной симметрии в биологии предполагает использование методов визуализации для исследования структуры и развития организмов, а также изучение генетических и развивающих механизмов, регулирующих симметрию.

В жизни

Зеркальную симметрию можно наблюдать во многих аспектах повседневной жизни, от дизайна зданий и изделий до узоров и форм, встречающихся в природе.

Например, архитекторы часто используют зеркальную симметрию в дизайне зданий, особенно в фасадах и интерьерах. Симметричные конструкции считаются эстетически привлекательными и помогают создать ощущение баланса и порядка. Автомобили и мебель проектируются с учетом зеркальной симметрии, как по функциональным причинам, так и для эстетической привлекательности.

Ее также можно увидеть в искусстве, моде и предметах декора. Многие виды искусства, такие как живопись, скульптура и текстиль, включают симметрию в свой дизайн, как способ создать визуальный интерес или вызвать определенное настроение или чувство. В моде симметрия может использоваться в дизайне одежды и аксессуаров для создания баланса и гармонии или для смелого заявления.

В природе зеркальную симметрию можно наблюдать во многих формах — от формы листьев и цветов до узоров на крыльях бабочек и морских раковин. Симметрия, встречающаяся в природе, часто является результатом глубинных физических и биологических процессов, таких как рост и развитие клеток и тканей, или законов физики, которые управляют образованием кристаллов и других структур.