Компланарные векторы

Что такое компланарные векторы

Это определение справедливо только для трех и более векторов, так как для двух направленных отрезков всегда можно найти плоскость, параллельную им.

Условия компланарности и линейная зависимость векторов

Среди условий компланарности векторов встречается понятие линейной зависимости, которое следует разобрать перед тем, как перейти непосредственно к условиям.

Линейная зависимость

Линейно зависимыми называются вектора \(\overline{a_1},\;\overline{a_2},\;\dots\;,\;\overline{a_n}\;\), которые можно составить в линейную комбинацию, равную нулю: \(\lambda_1\cdot\overline{a_1}+\;\lambda_2\cdot\overline{a_2}+\dots+\;\lambda_n\overline{\cdot a_n}\;=0.\)

Линейная комбинация — вектор, составленный из суммы векторов \(\overline{a_1},\;\overline{a_2},\;\dots\;,\;\overline{a_n}\;\) и коэффициентов разложения \(\lambda_{1,}\;\lambda_2,\;\dots\;,\;\lambda_n.\)

Существует пять критериев и свойств линейной зависимости векторов:

1. Хотя бы один из векторов можно представить в виде линейной комбинации других.
2. В n-мерном пространстве любые n+1 векторов линейно зависимы.
3. Хотя бы один из векторов — нулевой.
4. Если часть системы векторов линейно зависимы, то это справедливо и для остальных.
5. Если одна система векторов может быть выражена через другую и содержит больше векторов, то такая система линейно зависима.

Условия компланарности

Для неограниченного числа векторов справедливо следующее: если среди них есть не более двух линейно независимых векторов, то они компланарны.

На практике чаще всего встречаются задачи с тройками векторов. Для них существуют и другие условия компланарности:

1. Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
2. Смешанное произведение компланарных векторов равняется нулю.

Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов

Правило, согласно которому три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, проистекает из теоремы. Его также называют признаком и критерием компланарности векторов. Доказать данное утверждение можно следующим образом:

Пусть смешанное произведение \((\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=0\). Векторы \((\overline a\times\overline b)\) и \(\overline c\) — перпендикулярны, так как их скалярное произведение равняется нулю.

В то же время, результатом векторного произведения является вектор, перпендикулярный перемножаемым. Таким образом, векторы \overline a,\overline b,\overline c перпендикулярны одному и тому же вектору (\overline a\times\overline b), то есть лежат в параллельных плоскостях. Значит, векторы компланарны.

Для проверки, к доказательству данной теоремы можно подойти с другой стороны:

Пусть векторы \overline a,\overline b,\overline c компланарны.

Необходимо доказать, что их смешанное произведение \((\overline a\times\overline b)\cdot\overline c\) равняется нулю. Так как данные вектора компланарны, то \((\overline a\times\overline b)\) перпендикулярен каждому из них.

Отсюда следует, что его скалярное произведение с вектором \overline c будет равняться нулю. Это, в свою очередь, означает, что смешанное произведение \((\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=0.\)

Пример задачи на компланарность векторов

Задача

Даны точки A(1, 2, -1), B(0, -1, 5), C(-1, 2, 1) и D(2, 1, 3). Проверить, принадлежат ли они одной плоскости.

Решение

Сперва необходимо построить на основе имеющихся точек векторы \(\overline{AB},\;\overline{AC},\;\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}=(0-1,\;(-1)-2,\;5-(-1))=(-1,\;3,\;6)\)

\(\overline{AС}=((-1)-1,\;2-2,\;1-(-1))=(-2,\;0,\;2)\)

\(\overline{AВ}=(2-1,\;1-2,\;3-(-1))=(1,\;-1,\;4)\)

Чтобы проверить, принадлежать ли точки одной плоскости, необходимо найти смешанное произведение полученных векторов. Если оно равняется нулю, то векторы компланарны, следовательно, точки лежат в одной плоскости. В противном случае ответ на поставленный в условии вопрос будет отрицательным.

Смешанное произведение рассчитывается по формуле нахождения определителя матрицы:

\((\overline{AВ}\times\overline{AC})\cdot\overline{AD}=\begin{vmatrix}-1&-3&6\\-2&0&2\\1&-1&4\end{vmatrix}=((-1)\cdot0\cdot4)+((-3)\cdot2\cdot1)+((-2)\cdot(-1)\cdot6)-(6\cdot0\cdot1)-((-1)\cdot2\cdot(-1))-((-3)\cdot(-2)\cdot4)=0-6+12-0-2-24=-20\)

Полученное число не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарны. Это значит, что точки не лежат в одной плоскости.