В чем особенности представления графа матрицей смежности

Матрица смежности для графов

Простой пример матрицы смежности изображен на рисунке.

Данная матрица является двоичной квадратной, то есть количество строк в единичном случае соответствует количеству столбцов, а также строки и столбы имеют значения либо 1, либо 0. Первая строка и первый столбец, не состоящие в матрице, а записанные для легкости восприятия, содержат номера, на пересечении которых расположен каждый из элементов, и они определяют индексное значение последних. Достаточно просто выполнить построение матрицы данного типа, зная соответствующий ей граф.

В левой стороне на рисунке представлена аналогичная матрица смежности с размерностью 4х4. Числа, выделенные синим цветом, допустимо рассматривать в виде вершин смешанного графа, записанного в правой стороне – того, представлением которого является матрица.

Отобразить граф можно путем вычисления по матрице смежности числа его вершин и применения специального правила. В том случае, когда из одной вершины в другую проход свободен, то есть имеется ребро, в ячейку записывают 1, в противном случае – 0. Таким образом:

если из i в j существует ребро, то \(A[i][j]:=1\), в противном случае \(A[i][j]:=0.\)

Заметим, что для элементов, расположенных на главной диагонали, характерно нулевое значение. Это является следствием отсутствия у графа петель. Однако, в информатике нет ограничений для записи некоторых или всех элементов на главной диагонали в виде единиц.

В чем особенности представления

В программе матрицу смежности задают с помощью обычного двумерного массива. Его размерность соответствует n x n, где n является числом вершин графа.

В том случае, когда граф неизвестен заранее, а определен пользователем, необходимо вводить двумерный массив вручную. Это объясняется условиями работы конкретного языка программирования. При необходимости предоставления графа в виде матрицы смежности требуется \(O(|V|^{2})\) памяти, так как ее размер соответствует квадрату числа всех вершин.

Если количество ребер графа в сравнении с числом вершин является небольшим, значения многих элементов матрицы смежности будут соответствовать нулю. Таким образом, применение рассматриваемой методики нецелесообразно, в связи с наличием для подобных графов наиболее эффективных способов представления.

Списки смежности и списки ребер, плюсы и минусы

Относительно памяти, списки смежности менее требовательны по сравнению с матрицами смежности. Объем памяти для их хранения составляет \(O(|V|+|E|)\). Такой перечень целесообразно представить как таблицу с двумя столбцами и строками в количестве, не превышающем число вершин в графе. Для примера можно рассмотреть граф смешанного типа:

В данном случае, граф состоит из 6 вершин (|V|) и 5 ребер (|E|). Из последних 2 ребра являются направленными и 3 ненаправленными. При этом из каждой вершины выходит, как минимум одно ребро в другую вершину. Таким образом, список смежности рассматриваемого графа содержит |V| строк.

В i строке и 1 столбце указана вершина выхода, а в i строке и 2 столбце – вершина входа. Например, из вершины 5 выходят два ребра, входящие в вершины 1 и 4.

В процессе программной реализации списка смежности число вершин и ребер задают с помощью клавиатуры. Можно установить лимиты, то есть задать пару констант, одна из которых определяет максимально допустимое число вершин (Vmax), другая – ребер (Emax). Затем следует использовать три одномерных целочисленных массива:

• terminal[1..Emax] – для хранения вершин, содержащих ребра;
• next [1..Emax] – включает указатели на элементы массива terminal;
• head[1..Vmax] – состоит из указателей на начало подсписков, то есть такие вершины, записанные в массив terminal, с которых начинается процесс перечисления всех вершин, смежных одной i-ой вершине.

В первую очередь выполняют запрос на ввод суммы вершин (n) и ребер (m) графа (данная информация должна быть у пользователя). Следующим шагом является запуск цикла ввода ребер, то есть смежных вершин. Условие в этом цикле нужно для того, чтобы узнать, какое введено ребро.

Если введено направленное ребро, то функция add вызывается 1 раз, иначе – 2, тем самым внося сведения, что есть ребро как из вершины v в вершину u, так и из u в v. По окончанию формирования списка смежности происходит его отображение программой на экране.

Вывод на экран осуществляется:

• по циклу от 1 до n, где n – является количеством вершин;
• согласно вложенному в него циклу, который прекращает свою работу тогда, когда указатель на следующий элемент для i-ой вершины отсутствует, то есть все смежные ей вершины уже выведены.

Функция add производит добавление ребер в изначально пустой список смежности:

\(Add(v, u)\)

\(k:=k+1\)

\(terminal[k]:=u\)

\(next[k]:=head[v]\)

\(head[v]:=k\)

Действия реализуются, согласно алгоритму с формальными параметрами, вспомогательной переменной k и тремя одномерными целочисленными массивами:

• значение переменной k увеличивается на 1;
• в k-ый элемент массива terminal добавляют конечную для какого-либо ребра вершина (u);
• в строке №3 для k-ого элемента массива next определяется адрес следующего элемента массива terminal;
• массив head заполняют указателями на стартовые элементы, которые являются началом подсписка (строки в таблице) смежных вершин с некоторой i-ой вершиной.

В ячейке, где пересекаются i-ая строка и 2-ой столбец, могут быть записи нескольких элементов в соответствии с несколькими смежными вершинами.  Можно обозначить каждую строку из списка смежности его подсписком. В результате выведенный список смежности будет включать элементы подсписков, отсортированные в обратном порядке. Обычно порядок вывода смежных вершин (в подсписках) не имеет принципиального значения.

Список со строками, содержащими запись двух смежных вершин и вес ребра, которое их соединяет, называют списком ребер графа. В качестве примера можно рассмотреть связный граф G=(V, E). Множество ребер E следует сгруппировать следующим образом:

• d – подмножество, включающее только неориентированные ребра графа G;
• k – подмножество, включающее только ориентированные ребра графа G.

Допустим, какая-либо величина p равна количеству всех ребер, которые включены в подмножество d, а s – то же самое относительно k. Тогда для графа G высотой списка ребер будет являться величина:

s+p*2

Таким образом, число строк из списка ребер в любом случае должно соответствовать величине, определенной по итогам сложения ориентированных ребер с неориентированными, умноженными на 2. Рассматриваемый способ представления графа предполагает хранение в каждой строке пары смежных вершин, а неориентированное ребро, которое соединяет вершины v и u, идет как из v в u, так и из u в v.

Например, имеется некий граф смешанного типа с 5 вершинами и 4 ребрами, каждому из которых соответствует определенное целое значение (для наглядности оно составлено из номеров вершин):

Граф содержит 3 направленных ребра и 1 ненаправленное. Путем подстановки значений в формулу можно определить высоту списка ребер: 3+1*2=5

На рисунке изображен список ребер для рассматриваемого графа. Таблица в размерах составляет n×3, где n= s+p*2=3+1*2=5. Элементы в первом столбце расположены по возрастанию, во втором – порядок расположения элементов определен первым, а в третьем – зависит от двух предыдущих.

Список ребер реализуется программой. Процесс схож с операциями при реализации списка смежностей. В первую очередь организуют ввод данных, которые с помощью особой функции распределяются среди массивов. Затем происходит вывод полученного списка смежности на экран. В связи с необходимостью в использовании дополнительного массива, функция добавления ребер организована по-другому.

Максимально допустимое число вершин в графе определено с помощью константы Vmax, а количество ребер – Emax. Вторая константа инициализируется формулой Vmax*(Vmax-1)/2, вычисляющей количество ребер в полном графе при известном числе вершин.

Далее, в программах описываются 5 массивов:

• terminal – массив вершин, включающий ребра;
• weight – массив весов ребер;
• head[i]=k – для хранения i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – является первой вершиной, смежной с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра;
• last[i]=k – для хранения i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – является последней вершиной, смежной с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра;
• point[i]=k – хранит для i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – следующая вершина, смежная с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра.

По результатам ввода числа вершин (n) и ребер (m) графа будет запущен цикл, каждый этап которого сопровождается вводом пользователем с клавиатуры пары смежных вершин и веса ребра, расположенного между ними. Если ребро ориентированное, функция записи в список ребер (Add) вызывается единожды, при неориентированном ребре – дважды. Суммарное количество вызовов функции определяется по формуле:

s+(p*2)

где s – является ориентированными ребрами графа

p – неориентированные ребра

По итогам формирования списка ребер следует умножить на 2 переменную m. Это связано с тем, что при чисто неориентированном графе высота списка составляет:

0+(m*2)

Завершающим этапом является отображение на экране результирующей конструкции. В связи с тем, что на номер первой вершины, смежной с i-ой вершиной, указывает элемент head[i], каждая новая итерация внешнего цикла начинается с взятия этого номера (k=head[i]). Внутренний цикл прекращает реализацию в том случае, когда отсутствует смежная с i-ой вершины (k станет равной нулю), а внешний – по окончанию вывода списка ребер.

Ключевые действия, включая добавление ребра, удаление ребра, проверку наличия ребра от вершины i до вершины j, отличаются высокой эффективностью и являются операциями с постоянным временем. В том случае, когда граф плотный, а количество ребер большое, матрица смежности представляет собой наиболее целесообразное решение. Даже когда граф и матрица смежности разрежены, можно представить ее с помощью структур данных для разреженной матрицы.

Главное достоинство методики заключается в применении матриц. Благодаря передовым разработкам в сфере аппаратного обеспечения, представляется возможным реализовывать даже дорогостоящие матричные операции на графическом процессоре (GPU). В процессе выполнения операций со смежной матрицей можно получить ценные данные о природе графа и том, как связаны его вершины.

К минусам матрицы смежности можно отнести риски возникновения недостатка объема памяти по причине наличия требований к пространству матрицы смежности VxV. Однако, зачастую графы не обладают чрезмерно большим числом соединений, что является основным поводом выбрать списки смежности для решения распространенных задач.

С другой стороны, несмотря на простоту базовых операций, существуют такие операции, как inEdges и outEdges, которые отличаются дороговизной при использовании для представления матрицы смежности.

Классификация графов

Ярким примером графа является схема метро или некий другой маршрут. Программисты знакомы с компьютерной сетью, которая также представляет собой граф. Общим в этих примерах является наличие точек, соединенных линиями.

В случае компьютерной сети точками являются отдельные серверы, а линиями – разные типы электрических сигналов. В метрополитене точки можно принять за станции, а линии – за туннели, проложенные между станциями. Согласно теории графов, точки представляют собой вершины или узлы, а линии – ребра или дуги.

В математике преимущественно рассматривают не содержание, а структуру вещей, отделяя ее от всего остального. Данный прием позволяет определять какие-либо объекты, как графы. В случае компьютерной сети можно отметить наличие определенной топологии и возможности условного представления в виде некоторого количества компьютеров и соединительных путей. На рисунке изображена полносвязная топология:

Фактически такая топология является графом. Пять компьютеров представляют собой вершины, а соединения или пути передачи сигналов являются ребрами. Ели выполнить замену компьютеров на вершины, то в результате получится математический объект или граф с 10 ребрами и 5 вершинами. Нумерацию вершин допустимо выполнять произвольно.

В рассматриваемом примере не используются петли, то есть такие ребра, которые выходят из вершины и сразу же водят в нее. В теории графов существует ряд обозначений:

• G=(V, E), здесь G – граф, V – его вершины, E – ребра;
• |V| – порядок (число вершин);
• |E| – размер графа (число рёбер).

Применительно к рисунку:

|V|=5, |E|=10.

Классификация графов:

• связные, в которых между какой-либо парой вершин расположено от одного и более путей;
• несвязные – хотя бы с одной вершиной, не связанной с другими.

В том случае, когда из любой вершины доступна другая вершина, граф является неориентированным и связным. При невыполнении данного условия для связного графа, его называет ориентированным или орграфом.

В сумме все степени графа соответствуют удвоенному количеству всех его ребер. К примеру, на рисунке изображен граф со суммой степеней, равной 20:

Орграф отличается от неориентированного графа возможностью перемещаться из вершины h в вершину s без промежуточных вершин лишь тогда, когда ребро выходит из h и входит в s, но не наоборот. Форма записи ориентированного графа:

G=(V, A)

где V – является вершинами, A – определяет направленные ребра.

К третьему типу относят смешанные графы. Такие графы включают направленные и ненаправленные ребра. Формальная запись смешанного графа:

G=(V, E, A)

Источник: kvodo.ru

На рисунке изображен граф с направленными [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)] и ненаправленными [(e, d), (e, b), (d, c)…] дугами. Предположим, что имеются два графа:

Данные графы эквиваленты друг другу, так как без изменений в структуре одного графа можно построить второй. Такие графы являются изоморфными, то есть обладают следующим свойством: какая-либо вершина с определенным числом ребер в одном графе имеет тождественную вершину в другом. На приведенном выше рисунке изображена пара изоморфных графов.

В случае, когда каждое ребро графа соответствует некоторому значению в виде веса ребра, граф является взвешенным. При решении задач можно встретить примеры, когда за вес принимают длину, цену маршрута и другие виды измерений. При графическом изображении графа принято указывать весовые значения около ребер.

При совпадении первой и последней вершины путь называют циклом. Длина пути равна количеству составляющих его ребер. К примеру, на рисунке путь является последовательностью [(e), (a), (b), (c)]. Этот путь представляет собой подграф, так как к нему применимо определение последнего, а именно: граф G’=(V’, E’) является подграфом графа G=(V, E), только тогда когда V’ и E’ принадлежат V, E.

Способы представления графа, алгоритмы обхода

Граф, как и другие распространенные типы математических объектов, можно представить на компьютере, то есть сохранить в его памяти. Наиболее известные способы интерпретации графов:

• матрица смежности;
• матрица инцидентности;
• список смежности;
• список ребер.

Первые два метода заключаются в хранении графа в виде двумерного массива или матрицы. Размеры этих массивов определяются числом вершин и/или ребер в определенном графе. Таким образом, размер матрицы смежности – n×n (где n – число вершин), а матрицы инцидентности – n×m (n – число вершин, m – число ребер в графе).

В процессе решения многих задач с применением графов требуется обходить все вершины и ребра, то есть дуги. Обойти граф – значит, пройти все его вершины точно по одному разу. Алгоритмы обхода:

• в глубину;
• в ширину.

Реализация алгоритма обхода заключается в последовательном посещении вершин и исследовании ребер. Не посещенную вершину называют новой. После посещения вершину считают открытой до момента исследования всех инцидентных ей ребер. По итогу манипуляций вершина становится закрытой.

Обход в глубину выполняют, согласно следующим правилам:

• при нахождении в вершине х следует перемещаться в какую-либо другую вершину, не посещенную ранее, с одновременным запоминанием первой дуги;
• в том случае, когда невозможно переместиться в ранее не посещенную вершину из вершины х, требуется вернуться в вершину z, из которой впервые удалось попасть в х, и продолжить обход в глубину из вершины z.

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке:

Обход следует начинать со стартовой вершины 1. Она является активной и единственной, которая открыта. Другие вершины: 2,3,4,5,6 – новые. Вершина 1 обладает тремя инцидентными ребрами – 1–2, 1–4 и 1–6. Можно начать с ребра 1–2. В результате его прохождения открывается вершина 2. Она обладает одним инцидентным ребром 2–1, которое просмотрено. Вершина 2 была просмотрена, в результате чего она преобразуется в закрытую.

Затем по ребру 2–1 можно вернуться в вершину 1. По ребру 1– 4 легко попасть в вершину 4, которая становится открытой. Вершина 4 обладает четырьмя инцидентными ребрами: 4–1, 4–3, 4–5, 4–6. Таким образом, ребро 4–1 просмотрено.

Далее следует рассмотреть ребро 4–3. С его помощью удобно попасть в вершину 3, которая в результате становится открытой. Вершина 3 обладает одним инцидентным ребром 3–4. Данная вершина просмотрена. В результате вершина 3 закрыта, а по ребру 3–4 можно вернуться в вершину 4. Затем следует рассмотреть ребро 4 – 5.

Вершина 5 обладает двумя инцидентными ей ребрами: просмотренным (4–5) и ребром 5–6, по которому можно попасть в вершину 6. Вершина 6 обладает тремя инцидентными ей ребрами: просмотренным 6–5, 6–1 и 6–4. С помощью ребра 6–1 можно попасть в просмотренную вершину 1. По ребру 6–4 просто попасть в просмотренную вершину 4. В результате все вершины графа просмотрены. Порядок посещения вершин: 1, 2, 4, 3, 5, 6.

Основной особенностью и отличием поиска в ширину является выбор в виде активной вершины – такой, которая посещалась раньше, чем остальные. Таким образом, можно сформулировать ключевое свойство обхода в ширину: чем ближе вершина к старту, тем раньше она будет посещена.

Вершина используется путем просмотра одновременно всех вершин, которые ранее не были просмотрены и являются смежными с рассматриваемой вершиной. В результате поиск реализуют по всем вероятным направлением сразу. В первую очередь посещается вершина А, далее смежные с ней вершины, удаленные от А на 1.

Затем посещаются вершины, которые расположены на расстоянии 2 от А, и так далее. Чем ближе вершина к стартовой вершине, тем раньше она будет посещена. Поиск в ширину направлен на определение наиболее короткого из возможных путей.

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке:

Обход следует начать со стартовой вершины 1, которая является просмотренной. Вершины 2, 4, 6 и стартовая вершина – смежные. Данные вершины можно отметить, как просмотренные, и поместить в очередь. При рассмотрении вершины 2 можно заметить, что она не обладает смежными вершинами.

Затем нужно рассмотреть вершину 4 с двумя смежными вершинами 3 и 5. Их можно поместить в очередь и отметить, как просмотренные. В результате просмотрены все вершины графа. Порядок посещения вершин: 1, 2, 4, 6, 3, 5.

Как построить граф по матрице смежности

Данная методика отличается удобством, что позволяет представлять плотные графы с количеством ребер (|E|), которое приблизительно соответствует числу вершин в квадрате (|V|2). В процессе требуется заполнить матрицу размером |V| x |V| следующим образом:

A[i][j] = 1 (Если существует ребро из i в j)

A[i][j] = 0 (Иначе)

Метод допустим к применению в случае ориентированных и неориентированных графов. Во втором варианте матрица A имеет вид симметричной, то есть A[i][j] == A[j][i]. Это объясняется тем, что при существовании ребра между i и j, оно является и ребром из i в j, и ребром из j в i. С помощью данного свойства сокращают практически вдвое объем требуемой памяти, в связи с тем, что элементы хранятся лишь в верхней части матрицы, над главной диагональю.