Определение транспонированной матрицы

Что такое транспонированная матрица

С теоретической точки зрения, транспонированная матрица в случае с некоторой матричной формой А, обладающей размерностью \(m\times n\), сформирована как матрица под названием  \(A^{T}\) со следующими габаритами: \(n \times m\), соответствующая такому выражению, которое можно вычислить:

\(A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}\)

 

Исходя из данного определения и принципа построения матричных форм, можно прийти к выводу, что при записи транспонированной матрицы из начального массива данных, выстроенных в определенном порядке, строки нужно составить как колонки в аналогичной последовательности. Тогда получится необходимая матричная форма, которую далее можно решать при необходимости.

Свойства транспонированной матрицы, как найти

Задачи с матрицами обладают разной степенью сложности. Когда предстоит в процессе решения выполнить подобного рода преобразования такие, как транспонирование строчек и колонок матричной формы, можно воспользоваться простым алгоритмом операций. Данная последовательность действий позволит исключить ошибки при формировании обозначения нужной матрицы:

• проанализировать исходную запись данных;
• определить расположение строк и столбцов;
• изменить места колонок и строчек с помощью ранее записанной формулы \(A_{ij} ^T = A_{ji}\);
• сформулировать ответ в соответствии с заданием.

Значительно упростить расчеты при работе с матричными формами помогут справедливые закономерности. Запишем ряд полезных свойств, применимых к примерам с транспонированием матрицы:

Свойства:

1. Предположим, что у некоторой матрицы АА имеются следующие размеры: \(m \times n\). В таком случае при транспонировании этих записей с данными получится матрица \(A^T\) , которая обладает размерами \(n \times m\).
2. Если выполнить рассматриваемое действие два раза подряд, то конечный результат не поменяется, а матрица останется в прежней форме.
3. Допустимо переносить множитель за пределы транспонированной матричной формы. При этом целесообразно воспользоваться следующим соотношением: \((\lambda \cdot A)^T = \lambda \cdot A^T\).
4. Если пару матриц сложить, то их также можно транспонировать. С этой целью допустимо применить следующую закономерность: \((A+B)^T = A^T + B^T\).
5. Транспонирование выражения, в котором умножают матрицы, подразумевает умножение данных транспонированных матричных форм, то есть: \((A \times B)^T = A^T \times B^T.\)

 

В процессе решения нужно воспользоваться определением данной математической операции и закономерностями, которые перечислены выше. В результате получим, что:

\(A^T = \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1&4&7\\2&5&8\\3&6&9 \end{pmatrix}^T\)

\(В^T = \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}^T\)

Как транспонировать матрицу в Excel

Многим знаком редактор MS Excel. Это функциональный компонент пакета Microsoft Office. Программа позволяет работать с разнообразными табличными формами. В числе полезных опций возможность выполнить транспонирование матрицы. Подобное действие целесообразно реализовать по средствам особой функции ТРАНСП(). Рассмотрим наглядный пример:

Источник: my-excel.ru

Заметим, что компоненты начальной матричной формы 2 на 2 размещены в поле от А7 до В8. В таком случае, чтобы транспонировать матрицу следует последовательно выполнить ряд простых действий, а именно:

• выделить ячейки площадью 2 на 2, которые не должны иметь какие-либо пересечения с начальным диапазоном А7:В8;
• в строке для ввода формул напечатать выражение: =ТРАНСП(A7:B8);
• нажать одновременно сочетание клавиш на клавиатуре CTRL+SHIFT+ENTER, то есть выполнить ввод выражения для массива.

Источник: my-excel.ru

Как транспонировать матрицу в Python

В распространенных случаях программирование начинают осваивать с высокоуровневого языка под названием Python. На его базе создаются разнообразные приложения, в том числе, для смартфонов, планшетов и других гаджетов, разрабатывают функциональные версии программного обеспечения, обучают машины определенным командам и алгоритмам. Разработчики оценивают Python с точки зрения достойной эффективности, простоте освоения, возможностей работы на разнообразных платформах. В нем также есть опции транспонирования матричных форм. Рассмотрим основные из таких методик.

Первым способом является применение NumPy transpose(). Данная библиотека предназначена для работы с массивами данных. Соответствующий метод по вызову реализует нужное действие:

Источник: pythonist.ru

Следующий способ транспонирования матричных форм заключается в применении метода numpy.transpose(). В процессе осуществляется передача матрицы как аргумента:

Источник: pythonist.ru

Если заранее импортировать в Python библиотеку SymPy, то можно достаточно просто выполнить транспонирование матричной формы. Последовательность операций:

• вызов transpose (T) с помощью точечного оператора;
• внесение итогов в новую переменную sympy_transpose;
• печать начальной матрицы matrix в следующей строке;
• запись транспонированной матричной формы в sympy_transpose.

Источник: pythonist.ru