Наименьшее общее кратное: как найти
Наименьшее общее кратное — что это такое
Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».
Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.
К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.
Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.
Вычисление НОК, правила в математике
Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.
Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.
К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;
К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.
Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.
Поэтому НОК (4, 6) — 12.
Как найти НОК через НОД
Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).
В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.
Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.
Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.
Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:
8 делится на 1, 2, 4, 8;
36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.
Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.
В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.
Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.
Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.
НОД (9, 45)=9
НОД (12, 48)=12
Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.
На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.
Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:
НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).
Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.
Как найти НОК через разложение чисел
Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.
Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.
После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:
1, 3, 9.
После разложения 12-ти получается ряд:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.
Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.
В качестве проверки произведем действия:
- 36/12=3
- 9/3=3
На практике записывают: НОК (9, 12)=36.
Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.
Найти НОК чисел 50 и 180.
Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.
Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.
Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.
Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.
Следовательно, НОК (50, 180)=900.
Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.
Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,
32=2*2*2*2*2;
40=2*2*2*5;
80=2*2*2*2*5
Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.
В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:
Если имеется ряд чисел (а1, а2, а3…аk), можно найти НОК mk этих чисел производя последовательные вычисления: m2=НОК (а1, а2), m3=НОК (а2, а3)… mk=НОК (mk-1, аk)
Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a1), 9 (a2), 54 (а3), 250 (а4).
Тогда m2=НОК (a1, a2)=НОК (140, 9).
Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.
Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.
Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.
Ответ: m2=1260
По аналогии вычисляем m3 (=3780) и m4 (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
