Понятие эквивалентности и равенства матриц
Эквивалентные матрицы — определение
Матрицы А и В являются эквивалентными, когда матрица В — это результат элементарных преобразований матрицы А, либо наоборот.
Понятие эквивалентности используется во многих дисциплинах, в том числе, высшей математике. Для его обозначения принято использовать знак \(\sim\).
\(A\sim B\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Запись означает, что матрица А эквивалентна матрице В.
Пару систем можно назвать эквивалентными друг другу по определенному критерию. Это возможно в том случае, когда наблюдается совпадение множества их решений.
Перечислим основные свойства элементарных преобразований, в результате которых можно получить эквивалентные матрицы. Инвариантность ранга в данном случае можно выразить с помощью теоремы.
При \(A\sim B\) справедливо следующее соотношение:
\(\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B.\)
Система, в состав которой входят линейные алгебраические уравнения, образованная за счет элементарных преобразований начальной системы, является эквивалентной исходной системе.
Когда определитель матрицы \(A_{n\times n}\) отличен от нуля, и матрица В записана с помощью выражения \(B=[A|E]_{n\times 2n}\), в процессе элементарного преобразования строк матрицы A для получения единичной матрицы Е, входящей в состав В, в одно и то же время преобразуется \(Е к виду A^{-1}\).
Матрицу А можно назвать ступенчатой при выполнении следующих условий:
- Каждая из нулевых строк матрицы А занимает последнее место.
- Если обозначить номер какой-то ненулевой строки матрицы А, то выполняется следующее правило: при \(a_{kj}\) в виде первого ненулевого элемента строки k справедливо, что \(\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0.\)
Какую-либо матрицу с помощью элементарных преобразований допустимо привести к ступенчатому виду.
Понятие равенства матриц
Говорят, что матрица \(A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}\) равна некой матрице \(B=\left(b_{ij} \right)_{k\times l}\) при условии совпадения размерности рассматриваемых матриц и равенства их соответствующих элементов.
Когда матрицы второго порядка записаны в стандартной форме, их равенство можно представить следующим способом:
\(A=\left(\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {b_{11} } & {b_{12} } \\ {b_{21} } & {b_{22} } \end{array}\right)\)
\(A=B\Rightarrow a_{11} =b_{11} ,a_{12} =b_{12} ,a_{21} =b_{21} ,a_{22} =b_{22}.\)
Приведем наглядный пример, чтобы проверить описанный способ сравнения матриц.
Требуется определить, равны ли записанные ниже матрицы А и В:
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\)
Воспользуемся определением равных между собой матриц, чтобы решить это задание.
В первом случае:
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)\)
Заметим, что здесь указанные матрицы обладают одним и тем же порядком (вторым). Кроме того, элементы матриц равны соответственно друг другу. Можно сделать вывод о равенстве матриц.
Во втором случае:
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)\)
В данном примере представлены матрицы разного порядка, то есть \(2$\times $2\) и \(2$\times $1\), которые не равны друг другу.
Третий случай:
\(A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)\)
Заметим, что здесь записаны матрицы одинакового порядка, то есть \(2$\times $2\). С другой стороны не каждый из соответствующих элементов матриц равен другому. По этой причине нельзя назвать эти матрицы равными.
Элементарные преобразования над матрицей
Элементарными преобразованиями называют такие действия с матрицами, в результате которых неизменной остается их эквивалентность.
Элементарные преобразования не влияют на множество решений СЛАУ, представленной с помощью рассматриваемой матрицы. Используя элементарные преобразования, реализуют решения по методу Гаусса. Таким образом, удается привести матрицу к треугольному, а также ступенчатому виду.
Перечислим элементарные преобразования:
- Перемещение одной строки на место другой.
- Произведение какой-либо строки и константы, отличной от нуля.
- Сложение пары каких-либо строк, одна из которых увеличена в определенное число раз, то есть путем умножения на число, отличное от нуля.
Перечисленные преобразования допустимо использовать не только со строками матриц, но и с ее столбцами.
Имеется некая матрица, на примере которой можно рассмотреть, как работают элементарные преобразования:
\(A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right)\)
В первую очередь выполним перестановку. Поменяем местами 1 и 3 строки, чтобы получить эквивалентную матрицу. Эквивалентность следует обозначить специальным символом:
\(\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)\)
Найдем произведение 1 строки полученной матрицы и числа -2:
\(\left( \begin{matrix} 2 & 5 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} -4 & -10 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)
Суммируем 1 и 3 строки. Перед этим 3 строку умножим на число 4:
\(\left( \begin{matrix} -4 & -10 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} -4+1\cdot 4 & -10+4\cdot 4 & 1+4\cdot 0 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 6 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right).\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
