Функция Кобба-Дугласа

Что такое функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба–Дугласа — это функция полезности, которая отражает влияние затрат труда L и капитала K на производственный объем Q.

Впервые данное понятие теоретически предложил шведский экономист Кнут Викселль.

В 1928 году американские ученые Чарльз Кобб и Пол Дуглас в своем труде «Теория производства» проверили функцию на практике, а именно на статистической информации. В данной работе экономисты попытались опытным путем установить зависимость объема продукции, выпускаемой обрабатываемой промышленностью США, от вложенного капитала и труда.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Общий вид функции

Рассматриваемая функция выглядит следующим образом:

\(Q=A\times L^\alpha\times K^\beta\)

В данной формуле:

  • Q — это объем производства.
  • A — это технологический коэффициент, то есть совокупность влияющих на выпуск продукции факторов, кроме труда и капитала.
  • L — трудовые затраты.
  • α≥0 — коэффициент эластичности (меры чувствительности одного параметра к изменению другого) по труду.
  • K — вложенный капитал.
  • β≥0 — коэффициент эластичности по капиталу.

Функция Кобба–Дугласа считается линейно однородной, когда при сложении степеней α+β получается единица. В этом случае масштабы производства меняются, а отдача присутствует постоянно.

Если при сложении коэффициентов эластичности по труду и капиталу получается величина больше единицы, то отдача производства увеличивается. При α+β<1 отдача уменьшается.

Разновидности функции

Однофакторная производственная функция

Данный термин применяется в описании производственного процесса в краткосрочном периоде. В этом случае совокупный продукт Q испытывает влияние только одной переменной при постоянстве других факторов. Чаще всего труд L является переменным фактором.

Пример

Для увеличения количества рабочих мест необходимо дополнительное здание. Строительство нового корпуса фабрики невозможно выполнить за один календарный месяц. При этом возможно увеличить использование труда за счет перехода на многосменный график. Описание данного процесса представлено в виде формулы:

\(Q=f(L)\)

Переменным фактором также могут быть капитал K или земля M.

Однофакторная производственная функция имеет следующий вид:

Однофакторная производственная функция

На верхнем изображении видна динамика выпуска продукции TP при переменном факторе труда L. На нижнем графике представлена характеристика изменения средней производительности AP и предельной производительности MP переменного производственного фактора.

\(AP\) — это количество продукции, приходящееся на единицу переменного фактора.

Средний продукт труда APL вычисляется по формуле:

\(AP_L=\frac{TP_L}L\)

MP демонстрирует рост выпуска продукции при условии, что переменный фактор производства возрастет на бесконечно малую величину. Предельный продукт представлен в виде формулы, которая является производной однофакторной производственной функции:

\(MPL\;=\;Q'(L)\)

В производственной функции, заданной в виде таблицы, MPL — это величина прироста объема производства при возрастании переменного фактора производства на 1:

\(MPL\;=\;⌂Q/\;⌂L.\)

Двухфакторная производственная функция

При одновременном изменении двух факторов производства и константе третьего фактора образуется двухфакторная производственная функция. В качестве переменных и постоянных могут выступать разные факторы. Наиболее часто встречается ситуация, когда на объем производства влияют переменные фактора труда и капитала.

Математически эта зависимость выглядит так:

\(Q\;=\;f\;(К,\;L)\)

Пример

У фермера есть постоянное количество земли M, но есть возможность выполнять посевные работы с использованием разного количества техники K и количества наемников L. В таблице представлена производственная функция при данных условиях. В каждой ячейке указано значение объема зерна в тоннах, производимого конкретным числом работников и техники.

Пример

Особенности функции

Функция Кобба–Дугласа состоит из двух ключевых факторов, которые включены в производство: труд и капитал. Пропорциональное соотношение данных составляющих является условием создания продукта. Рассматриваемая функция служит отражением технологического соотношения труда и капитала, как обязательных факторов производства любого товара в определенном объеме.

В узком понимании термин «функция Кобба–Дугласа» обозначает зависимость постоянной отдачи от масштаба. 

Производственная функция, названная в честь экономистов Кобба и Дугласа — это первая функция обобщенного производства. Использование данного понятия позволяет создавать модели не только процессов небольших масштабов, но и целых отраслей экономики. Эмпирическое подтверждение рассматриваемой функции стало толчком в макроэкономическом развитии, благодаря чему появилась возможность оценивать производственную эффективность национального хозяйства.

Примеры использования функции

Пример №1

Пусть производственная функция завода имеет вид: \(Q=\;K0,5\times L0,5\). Допустим, ежедневная затрата труда L составляет 4 часа, вложенный капитал K выражен во времени работы станков и равен 4 часам. 

Вычислить:

  • максимальное количество выпускаемой продукции;
  • средний продукт труда;
  • объем выпускаемой продукции при увеличении труда и капитала вдвое.

Решение:

Выпустить максимум продукции возможно только при условии максимального использования труда и капитала, то есть:

\(Qmax=40,5\times40,5=4.\)

Средний продукт труда \(ATL\) равен соотношению объема производства к количеству затрачиваемого труда, то есть:

\(ATL=Q/L=4/4=\;1.\)

При увеличении производственных факторов труда и капитала в два раза максимальный объем выпускаемой продукции будет равен:

\(Qmax=80,5\times80,5=8.\)

Пример №2

Функция Кобба–Дугласа имеет вид \(Q=150K0,9\times L0,5.\)

Необходимо найти:

  1. Предельные продукты труда и капитала при\( K=16\), \(L=125\).
  2. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу, экономически расшифровать полученные значения.

Решение:

\(MQL\) — прирост объема производства при увеличении труда на 1:

\(MQ_L=\frac{dQ}{dL}=150\times0,5K^{0,9}\times L^{-0,5}=\frac{75K^{0,9}}{\sqrt L}\)

При заданных условиях \(K=16\), \(L=125\) искомая величина \(MQL\) равна:

\(MQ_L=\frac{75K^{0,9}}{\sqrt L}=\frac{75\times16^{0,9}}{\sqrt{125}}=\frac{75\times\sqrt[10]{16^9}}{\sqrt{5\times25}}=\frac{75\times\sqrt[10]{{(2^4)}^9}}{5\sqrt5}=\frac{15\times\sqrt[10]{2^{36}}}{\sqrt5}=\frac{15\times\sqrt[10]{2^{30}}\times\sqrt[10]{2^6}}{\sqrt5}=\frac{15\times2^3\times\sqrt[5]{2^3}}{\sqrt5}=\frac{15\times8\times\sqrt[5]8}{\sqrt5}=\frac{120\sqrt[5]8}{\sqrt5}\approx81,342\)

Вычислим предельный продукт капитала \(MQK:\)

\(MQ_K=\frac{dQ}{dK}=150\times0,9K^{-0,1}\times L^{0,5}=135\frac{\sqrt L}{\sqrt[10]K}=135\frac{\sqrt{125}}{\sqrt[10]{16}}=135\frac{\sqrt{5\times25}}{\sqrt[10]{2^4}}=135\frac{5\sqrt5}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{675\sqrt5}{\sqrt[5]4}\approx1143,9\)

Поскольку частные производные больше нуля, увеличение любых затрат не влечет уменьшение выпуска продукции.

Для производственной функции вида \(Q=150K0,9\times L0,5\) коэффициент эластичности по труду α определяется по формуле:

\(E_L(Q)=\frac{\displaystyle\frac{dQ}{dL}}{\displaystyle\frac QL}=\frac{150\times0,5K^{0,9}\times L^{-0,5}}{\displaystyle\frac{150K^{0,9}\times L^{0,5}}L}=\frac{0,5K^{0,9}\times L^{-0,5}}{K^{0,9}\times L^{0,5-1}}=0,5\frac{K^{0,9}\times L^{-0,5}}{K^{0,9}\times L^{-0,5}}=0,5\;=\alpha\)

Коэффициент по капиталу β вычислим следующим образом:

\(E_K(Q)=\frac{\displaystyle\frac{dQ}{dK}}{\displaystyle\frac QK}=\frac{150\times0,9K^{-0,1}\times L^{0,5}}{\displaystyle\frac{150K^{0,9}\times L^{0,5}}K}=\frac{0,9K^{-0,1}\times L^{0,5}}{K^{0,9-1}\times L^{0,5}}=0,9\frac{K^{-0,1}\times L^{0,5}}{K^{-0,1}\times L^{-0,5}}=0,9\;=\beta\)

При \(α=0,5\) увеличение трудовых затрат на 1 % приведет к росту производственного объема на 0,5 %.

При \(β=0,9\) увеличение вложенного в процесс производства капитала на 1 % повлечет за собой рост объема производства на 0,9 %.

При сложении коэффициентов α и β получится 1,4, то есть сумма \(α + β\) больше единицы. Это означает, что производственная функция непропорционально возрастающая. В данном случае эффективность факторов производства растет, то есть при увеличении затрат \(K\) и\( L\) в некоторой пропорции наблюдается рост объема производства \(Q\) в большей пропорции.

Если речь идет о конкурентном рынке, то величины α и β характеризуют прогнозируемые доли дохода, полученного за счет труда и капитала соответственно. На конкурентном рынке труда ставка зарплаты w соответствует предельному продукту труда:

\(w=MQ_L=\frac{dQ}{dL}=\frac{\alpha Q}L=81,342\)

Значит, итоговая сумма зарплаты wL будет равна \(αQ\). Трудовая доля в общем выпуске \(wL/Q\) будет постоянной величиной \(α=0,5.\)

Норма прибыли определяется аналогично через \(dQ/dK:\)

\(\rho=MQ_K=\frac{dQ}{dK}=\frac{\beta Q}K=1143,9\)

Отсюда следует, что итоговая прибыль \(ρQ\) равна \(βQ\). Константа \(β=0,9\) является долей прибыли \( ρK/Q.\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.40 (Голосов: 10)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»