Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки — характеристики

Расположенные в пустом пространстве точки не различаются. По этой причине рассуждение о точке возможно лишь при условии, что в ней находится материальная точка. Измерения в системе координат позволяют установить положение тела. Именно в данной системе находятся пространственные координаты. Пример: при рассмотрении точки, расположенной на поверхности Земли, учитывают такие показатели как широта и долгота. 

В теории применяют декартову систему координат, определение точки в которой может осуществляться при наличии следующих элементов:

• радиус-вектора \(\overset\rightharpoonup r\);
• координат точки – проекции x, y, z.

Возможно использование других систем координат:

• сферическая, положение точек и радиус-вектора в которой определяется координатами r, υ, φ;
• цилиндрическая с параметрами p, z, α;
• полярная плоскость с координатами r, φ.

На практике пользуются математической системой отсчета, не принимая во внимание реальное пространство, где располагается материальная точка.

Угловые скорости и угловые ускорения

Для перемещения материальной точки по окружности характерно, что радиус-вектор, опущенный с середины круга к точке, поворачивается на угол Δφ. Это вращение характеризуется с помощью введенных терминов – угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Вектор угловой скорости равен первой производной угла поворота тела по времени и вычисляется по формуле:

\(\omega=\frac{d\varphi}{dt}\)

Угловая скорость имеет направление, которое определяется по правилу буравчика. Значит, вектор угловой скорости направлен в сторону ввинчивания буравчика с правой резьбой при вращении в аналогичную сторону.

Связь линейной скорости с угловой представлена в виде:

\(\overset\rightharpoonup V=\left|\overset\rightharpoonup\omega\overset\rightharpoonup R\right|\)

При изменении угловой скорости в ходе вращения возникает угловое ускорение.

Формула, по которой вычисляется рассматриваемая величина:

\(\overset\rightharpoonup\varepsilon=\frac{d\overset\rightharpoonup\omega}{dt}\)

При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, при замедленном вращении эти векторные величины противонаправлены.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Каждая система отсчета или координат позволяет определить координаты материальной точки в любой момент времени. Движение тела, расположенного определенного в данной системе отсчета, считается заданным или описанным. Такая возможность возникает с применением кинематического уравнения движения:

\(\overset\rightharpoonup r=\overset\rightharpoonup r(t)\)

У свободной точки 3 степени свободы движения, то есть три автономных числа аналитически определяют положение точки.

При наличии указания положения точки в любой момент времени t считается, что перемещение данного тела определено. Для этого необходимо задавать однозначные и непрерывные функции времени в виде декартовых координат точки:

\(x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z\)

Прямоугольные декартовы координаты x, y, z являются проекциями радиус-вектора, опущенного из начала координат. Ясно, что длину и направление радиус-вектора возможно вычислить из соотношений, в которых α, β, γ – это углы, образованные радиус-вектором с осями координат.

Равенства x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z являются кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. Также они подходят для записи в другой системе отсчета, которая связана с декартовой системой координат однозначным преобразованием.

Движение точки в плоскости Оху целесообразнее отображать полярными координатами r и φ. При этом уравнения имеют вид:

\(r=r(t), φ=φ(t)\)

При перемещении точки в криволинейных координатах q₁, q₂, q₃, находящихся с декартовыми в зависимости типа x=x(q₁, q₂, q₃,), y=y(q₁, q₂, q₃,), z=z(q₁, q₂, q₃,) кинематическое уравнение записывается в следующем виде:

q₁=q₁(t), q₂=q₂(t), q₃=q₃(t)

Амплитуда движения точки и кривая, образующаяся концом радиус-вектора при перемещении, совпадают. Уравнения траектории при рассмотрении параметра времени представлено равенствами:

• x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z;
• q₁=q₁(t), q₂=q₂(t), q₃=q₃(t)

Если время t опустить из кинематических уравнений, получится координатное уравнение траектории.

Установить изменение положения точки в пространстве можно путем задания траектории и мгновенного расположения точки на ней. Для определения положения тела на кривой достаточно указать расстояние вдоль кривой от произвольной начальной точки с плюсовым направлением:

s=s(t)

Это уравнение описывает движения точки по траектории, заданное естественным или траекторным методом.

Суть естественного и координатного вида задания движения точки эквивалентны с физической точки зрения. Выбор способа в каждом конкретном случае обусловлен математической задачей.

Задание закона перемещения точки по траектории может осуществляться несколькими способами:

• аналитическим путем;
• графическим методом;
• посредством таблицы.

С помощью графического и табличного способов можно построить график и расписание движения поездов.