Что важно знать о полезной мощности двигателя в физике
Определение и формула полезной мощности
Мощность является физической величиной, применяемой в качестве ключевого параметра какого-либо устройства, которое предназначено для совершения работы.
Полезной мощностью называют такую мощность, которую можно использовать, чтобы выполнить некую поставленную задачу.
Средняя мощность \(\left\langle P\right\rangle\) представляет собой отношение работы \(\Delta A\) к временному интервалу \(\Delta t\), в течение которого данная работа была выполнена:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(\left\langle P\right\rangle =\frac{\Delta A}{\Delta t}\)
Мгновенную мощность чаще всего называют просто мощностью, данная величина обозначает предел отношения \(\left\langle P\right\rangle =\frac{\Delta A}{\Delta t}\left(1\right) при \Delta t\to 0:\)
\(P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta A}{\Delta t}\ }=A'(t)\)
Заметим, что:
\(\Delta A=\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }\)
Здесь \(\Delta \overline{r\ }\) обозначает перемещение, совершаемое неким телом под воздействием силы \(\overline{F}\). В таком случае, можно преобразовать выражение:
\(P={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\overline{F}\cdot \Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)\ }=\overline{F}{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\Delta \overline{r\ }}{\Delta t}\right)=\ }\overline{F}\cdot \overline{v}\)
Здесь \(\ \overline{v}\) является мгновенной скоростью.
Рассмотрим такое понятие, как полезная мощность электрического источника. Представим, что некая активная цепь включает в себя источник тока с сопротивлением r. Пусть нагрузка при этом равна сопротивлению R. В результате формула мощности такого источника примет вид:
P=EI
Здесь E представляет собой ЭДС источника тока, I обозначает силу тока. При этом P является полной мощностью цепи.
Введем обозначение U в качестве напряжения на внешнем участке цепи, и перепишем формулу мощности таким образом:
\(P=EI=UI+I^2r=P_p+P_0\)
Здесь \(P_p=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}\) определяется, как полезная мощность, \(P_0=I^2r\) является мощностью потерь.
Исходя из представленных формул, можно вывести определение для коэффициента полезного действия:
\(\eta =\frac{P_p}{P_p+P_0}\left(9\right).\)
Максимальная величина полезной мощности (или мощности на нагрузке) электрического тока достижима при равенстве внешнего сопротивления цепи внутреннему сопротивлению источника тока. В этом случае, полезная мощность составит 50 % от общей мощности. При возникновении короткого замыкания (то есть \(R\to 0;;U\to 0\)), либо при холостом ходу (то есть \(R\to \infty ;;I\to 0\)), полезная мощность принимает нулевое значение.
Взаимосвязь полезной мощности и КПД
В процессе выполнения нужной (полезной) работы, в том числе механической, требуется выполнять большую работу. Это связано с существованием силы сопротивления в реальных условиях и частичной подверженности энергии диссипации, то есть рассеиванию.
Коэффициент полезного действия \(\eta\) обозначает эффективность совершения работы:
\(\eta =\frac{P_p}{P}\left(5\right)\)
Здесь \(P_p\) определяется, как полезная мощность, P является мощностью, которая была затрачена.
С помощью записанной формулы можно преобразовать уравнение для расчета мощности:
\(P_p=\eta P\)
Справедливыми являются и такие соотношения:
\(\eta =\frac{A_1}{W}\cdot 100\%\)
\(\eta =\frac{N_1}{N_2}\cdot 100\%\)
Здесь \(N_1\) и \(N_2\) будут называться полезной и затраченной мощностью соответственно.
Достижение максимального КПД
Разные двигатели характеризуются определенным КПД. Запишем некоторые примеры:
- электрический двигатель до 98 %;
- двигатель внутреннего сгорания до 40 %;
- паровая турбина до 30 %.
Существует зависимость КПД от мощности. Так коэффициент полезного действия можно рассчитать, как отношение полезной мощности к полной мощности, выдаваемой источником. В любых условиях \(\eta \leq 1. \) С целью увеличения коэффициента полезного действия таких агрегатов, как подъемные краны, насосные установки нагнетательного типа, моторы самолетов, асинхронные двигатели, требуется снизить силу трения механизмов или сопротивления воздуха. Задача решается с помощью: использования разнообразных смазочных материалов, подшипников повышенного класса (что позволяет заменить скольжение качением); изменения геометрических параметров крыла.
Максимальные показатели энергии или мощности на выходе источника питания достигаются за счет согласования сопротивления нагрузки Rн и внутреннего сопротивления R0. При равенстве данных характеристик КПД достигает 50 %, что является приемлемым значением в случае слаботочных цепей и радиотехники.
Подобное решение не реализуемо для электрических установок, в том числе нагревателей. С целью снизить бесполезное потребление больших мощностей подбирают такой эксплуатационный режим генераторов, выпрямителей, трансформаторов, электрических двигателей, при котором коэффициент полезного действия стремится к 95 % и более.
Добиться высокого КПД для теплового двигателя можно с помощью следующих решений:
- введение в цикл расширения дополнительного рабочего тела, обладающего другими физическими свойствами;
- максимально полно перед расширением использовать два вида энергии рабочего тела;
- выполнять генерацию дополнительного рабочего тела непосредственно при расширении газообразного.
Известно, что КПД в случае ДВС можно увеличить с помощью нагнетателя турбонаддува, многократного или распределенного впрыска, увеличения влажности воздуха, перевод топлива при впрыске в парообразное состояние. Однако подобные меры не позволяют существенно повысить значение коэффициента полезного действия.
Примеры задач с решением
Имеется электродвигатель, КПД которого равен 42 %. Если напряжение составляет 110 В, то двигатель пропускает через себя ток силой 10 А. Требуется определить полезную мощность силового агрегата.
Решение
Запишем формулу для нахождения мощности:
\(P_p=\eta P\ \left(1.1\right)\)
Рассчитаем, чему равна полная мощность:
\(P=IU\left(1.2\right)\)
Путем подстановки получим:
\(P_p=\eta IU\)
Определим искомую мощность:
\(P_p=\eta IU=0,42\cdot 110\cdot 10=462\ \left(Вт\right)\)
Ответ: \(P_p=462 Вт\)
Существует некий источник электрического тока с показателем тока короткого замыкания, равным . При включении источника тока в цепь с сопротивлением R, как показано на рисунке, сила тока составляет I. Требуется рассчитать самое большое значение, которое может принимать полезная мощность рассматриваемого источника.
Решение
Вспомним закон Ома, знакомый с уроков по физике:
\(I=\frac{\varepsilon}{R+r}\left(2.1\right)\)
Здесь \(\varepsilon\) является ЭДС источника тока, r представляет собой внутреннее сопротивление источника.
Если возникает короткое замыкание, то сопротивление внешней нагрузки принимает нулевое значение. В таком случае, силу тока короткого замыкания можно определить по формуле:
\(I_k=\frac{\varepsilon}{r}\ \left(2.2\right).\)
Максимальное значение полезной мощности в цепи достигается, если соблюдается условие:
\(R=r\ \left(2.3\right)\)
Определим силу тока:
\(I'=\frac{\varepsilon}{r+r}=\frac{\varepsilon}{2r}\left(2.4\right)\)
Вычислим максимальное значение полезной мощности:
\(P_{p\ max}={I'}^2r={\left(\frac{\varepsilon}{2r}\right)}^2\cdot r=\frac{\varepsilon^2}{4r}=\frac{\varepsilon^2}{4R}\left(2.5\right).\)
Получилась система с тремя уравнениями и тремя неизвестными:
\(\left\{ \begin{array}{c} I'=\frac{\varepsilon}{2r}, \\ I_k=\frac{\varepsilon}{r}, \\ P_{p\ max}={\left(I'\right)}^2r \end{array}.\right.\)
Вычислим I':
\(\frac{I'}{I_k}=\frac{\varepsilon}{2r}\cdot \frac{r}{\varepsilon}=\frac{1}{2}\to I'=\frac{1}{2}I_k\)
Далее составим выражение для внутреннего сопротивления источника тока:
\(\varepsilon=I\left(R+r\right);;\ I_kr=\varepsilon \to I\left(R+r\right)=I_kr\to r\left(I_k+I\right)=IR\to r=\frac{IR}{I_k-I}\)
Методом подстановки найдем искомую мощность:
\(P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}\)
Ответ: \(P_{p\ max}={\left(\frac{1}{2}I_k\right)}^2\frac{IR}{I_k-I}.\)
Электропоезд благодаря моторам движется со скоростью 54 км/ч. При этом его полезная мощность составляет 720 кВт. Нужно найти силу тяги моторов.
Решение
Запишем формулу для определения мощности двигателей электропоезда:
\(N=F\cdot v\)
Тогда сила тяги моторов составит:
\(F=\frac{N}{v}\)
Выполним перевод единиц измерения в СИ:
\(v=54 км/ч =15 м/с\)
В результате:
\(N=720\ kBt=720000\ Bt\)
Выполним вычисления:
\(F=\frac{720000}{15}=48000\ H=48\ kH\)
Ответ: сила тяги моторов равна 48 КН.
Масса машины составляет 2200 кг. Трогаясь с места, автомобиль осуществляет подъем в гору с углом наклона 0,018. Преодолев путь в 100 м, машина приобретает скорость 32,4 км/ч. Коэффициент трения равен 0,04. Требуется вычислить среднюю мощность, которую развивает двигатель автомобиля в процессе движения.
Решение
Формула средней мощности двигателя во время движения машины:
\(\left\langle N\right\rangle =F\cdot \left\langle v\right\rangle\)
Автомобиль движется со средней скоростью:
\(\left\langle v\right\rangle =\frac{v}{2}\)
Отметим на рисунке все силы, под действием которых находится автомобиль:
Перечислим все силы:
- сила тяжести \(m\overline{g};\)
- сила реакции опоры \(\overline{N};\)
- сила трения \({\overline{F}}_{fr};\)
- сила тяги двигателей \(\overline{F}.\)
Уравнение второго закона Ньютона:
\(m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{fr}+\overline{F}=m\overline{a}\)
Если спроецировать записанное соотношение на координатные оси, получим:
\({ \begin{cases} F-F_{fr}-mg\sin\alpha =ma \\ N-mg\cos\alpha =0 \end{cases}}\)
Заметим, что:
\(N=mg\cos\alpha\)
\(F_{fr}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\)
Преобразуем уравнение:
\(F-\mu mg\cos\alpha -mg\sin\alpha =ma\)
Таким образом:
\(F=m\left(\mu g\cos\alpha +g\sin\alpha +a\right)\)
Рассчитаем ускорение машины:
\(a=\frac{v^2}{2s}\)
Заметим, что:
\(\cos\alpha =\sqrt{1-{\sin}^2\alpha }\)
Выполним подстановку:
\(F=m\left(\mu g\sqrt{1-{\sin}^2\alpha }+g\sin\alpha +\frac{v^2}{2s}\right)\)
Двигатель в процессе движения развивает среднюю мощность:
\(\left\langle N\right\rangle =m\left(\mu g\sqrt{1-{\sin}^2\alpha }+g\sin\alpha +\frac{v^2}{2s}\right)\cdot \frac{v}{2}\)
Известно, что ускорение свободного падения равно \(9,8 м/с ^{2}\). Переведем единицы измерения в СИ:
\(v=32,4 км/ч =9 м/с.\)
Выполним вычисления:
\(\left\langle N\right\rangle =2200\cdot \left(0,04\cdot 9,8\cdot \sqrt{1-{0,018}^2}+9,8\cdot 0,018+\frac{9^2}{2\cdot 100}\right)\cdot \frac{9}{2}=9512,9\ Bt=9,5\ kBt\)
Ответ: мотор машины имеет среднюю мощность 9,5 кВт.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
