Квантовые постулаты Бора: формулы

Постулаты Бора: описание теории строения атомов

Изначально предположение о строении атома носило планетарный характер лишь по той причине, что это было классическое представление о закономерностях движения тел. Предложенная Эрнестом Резерфордом планетарная модель оказалась нежизнеспособной, и на смену ей пришли постулаты Бора.

1913 год был ознаменован работой датского физика Нильса Бора. Основываясь на наблюдениях и фактах, Бор заключил, что предыдущая модель строения атома была далека от действительности. Ученый стал основоположником новой теории строения атома, состоящей из трех постулатов.

Постулаты Бор применил для того, чтобы сформулировать теорию о строении атома водорода. Бор смог выделить несколько тезисов касательно атомов водорода, в том числе вычислил возможные радиусы орбит электрона и размеры атома, энергии стационарных состояний атома и частоты излучаемых и поглощаемых электромагнитных волн.

Однако постулаты Бора не были непогрешимыми: они с абсолютной точностью объясняли процессы водородных элементов, но были несостоятельны применительно к другим.

Постулат стационарных состояний (1 Постулат)

Стоит отметить, что этот постулат противоречит не только планетарной модели атома, но и классической механике, согласно которой энергия движущегося по орбите электрона может быть любой. Постулат также идет вразрез с теорией Максвелла об электродинамике в том ключе, что предполагает возможность ускоренного движения электронов при отсутствии излучения электромагнитных волн.

Подобное стало возможно из-за системы энергетических уровней. Каждый из уровней соответствует определенному квантовому состоянию. Вращающийся вокруг ядра атома электрон обладает некоторой механической энергией. В стабильном состоянии атома механическая энергия электрона, который движется по замкнутой траектории вокруг ядра, отрицательная: E_n<0. При условии, что E_n ≥ 0, электрон начинает удаляться от ядра. Это явление называется ионизацией.

Правило частот (2 Постулат)

Формулу также можно применять и в случае поглощения света. Как результат столкновения с фотоном атом переходит из состояния E_k в состояние с большей энергией E_n, в то время как фотон исчезает.

Частоту излучения фотона можно вычислить по формуле v_kn = (E_k – E_n) / h

А длину волны λ можно узнать, применив следующую формулу: λ_kn = hc / (E_k – E_n), где h — постоянная Планка, с — скорость света в вакуум

Этот постулат также говорит и о том, что атом может излучить волны только тех частот, которые соответствуют разностям значений энергии разрешенного дискретного набора E₁, E₂, E₃, E_n, поэтому набор этих частот тоже является дискретным. В этом заключается причина того, что спектр излучения атомов составляют отдельно расположенные яркие линии.

Стоит отметить, что атом может поглотить не любой фотон, но лишь тот, чья энергия hv равна разности E_n – E_k двух разрешенных значений энергии E_n и E_k. При переходе в состояние с более высокой энергией E_k атомы поглощают такие фотоны, которые способны излучить при обратном переходе и изначальное состояние E_k.

Правило квантования (3 Постулат)

Правило квантования Бора записывается следующим образом:

m_evr = \(n\frac{h}{2\pi}\), n = 1, 2, 3...

В данной формуле m_e — это масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, h — постоянная Планка, n — главное квантовое число.

Бор смог определить возможные радиусы орбит и значения энергии стационарных состояний, используя законы механики Ньютона и правило квантования. Величина атома обуславливается минимальным радиусом орбиты, она равна 0,53 ⋅ 10^_-10 м. Значения энергий стационарных состояний в электронвольтах размещены на вертикальной оси. 1 эВ — энергия, которая приобретается электроном при расхождении разности потенциалов 1 В.

Эксперименты и подтверждение постулатов

В 1914 году немецкие ученые Густав Герц и Джеймс Франк стали авторами экспериментального исследования, подтверждающего существование дискретных энергетических уровней атома. Впоследствии в 1925 году за эту работу они получили Нобелевскую премию. Опыт Франкаи Герца считается классическим случаем подтверждения квантовой теории.

Перед началом исследования учеными был выдвинут тезис, что электроны, которые проходят через пары ртути, передают энергию дискретно и что это сопровождается эмиссией ультрафиолетовой спектральной линии ртути (λ = 254 нм). В последующем эксперименте немецкие ученые использовали лампу, поместив туда каплю ртути, и измеряли критический потенциал ее атомов.

Ход эксперимента

Чтобы определить критические потенциалы возбуждения атомов, Франком и Герцем был использован метод задерживающего потенциала. Чтобы давление насыщенных паров ртути в лампе достигло нужного уровня, прибор поместили внутрь электрической печи и нагрели до необходимой температуры.

Трубка из стекла, откуда откачали воздух, имела катод накал, сетку и электрод. Электроны, вылетая из катода, ускорялись напряжением U в направлении сетки. Они проходили через нее и достигали электрода, внося вклад в ток мишени I, в том случае, когда их кинетическая энергия была достаточной преодоления замедляющего напряжения U_СA между сеткой и мишенью.

Имея малую величину, ток в анодной цепи мог быть зарегистрирован только с помощью системы, состоящий из усилителя постоянного тока и вольтметра. Усилитель поднимал величину падения напряжения, а вольтромер эту величину фиксировал. Падение напряжение измерялось в момент прохождения анодного тока по входному сопротивлению усилителя.

Выводы

В соответствии с теорией Бора любой атом ртути может получить лишь вполне определенную энергию при переходе в одно из возбужденных состояний. В связи с этим при наличии в атомах стационарных состояний электроны при столкновении с атомами ртути должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергии соответствующих стационарных состояний атома.

Из эксперимента можно заключить, что в случае увеличения ускоряющего потенциала до 4,86 В, анодный ток возрастает монотонным образом, его значение достигает максимума (4,86 В), затем следует резкое уменьшение и вновь рост. Впоследствии максимумы можно наблюдать при 2 ⋅ 4, 86 В  и 3 ⋅ 4, 86 В.

До тех пор, пока значение разности потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В, при встрече атома ртути и электрона происходит только упругое соударение. При \( e\phi\) = 4,86 эВ энергия электрона достигает необходимого уровня, чтобы спровоцировать неупругий удар, вследствие чего электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального состояния в возбужденное.

Электроны, лишившиеся своей кинетической энергии, более не смогут преодолеть тормозящий потенциал и достигнуть анода. Этим и объясняется резкое падение анодного тока при

\(e\phi\) = 4,86 эВ. Если значения энергии кратны 4,86, электроны могут испытывать с атомами ртути 2, 3 и более неупругих соударения. 

Таким образом, опыт показал, что электроны передают свою энергию атомам ртути порциями. Наименьшей порцией будет 4,86 эВ. Это минимум, который может быть поглощен атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Из этого следует, что тезис Бора о существовании в атомах стационарных состояний выдержала проверку экспериментом.

Атомы ртути, которые при соударении с электронами получили энергию \(\triangle E\), переходят в возбужденное состояние и должны вернуться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора, квант света, имея частоту \(\nu = \triangle E /h\). 

Произвести вычисление длины волны светового кванта при известном значении \(\triangle E = 4,86\) можно с помощью формулы:

\(\lambda = hc/ \triangle E \approx 255 нм.\)

Так, в опытах обнаружилась правильность теории о том, что атомы ртути, подвергающиеся бомбардировке электронами с энергией 4,86 эВ, являются источником ультрафиолетового излучения с \(\lambda = 255\ нм.\)

Примеры задач

\(r_{1} = \frac{ħ^{2}}{a_{э}m_{b}e^{3}}\)

Где m_e и \(e\) — масса и заряд элек­тро­на, а \(k_{э} = 9 ⋅ 10 \frac{H_{2}m^{2}}{Kл^{2}}.\)

В задаче дано: 

\(r_{1} = \frac{ħ^{2}}{a_{э}m_{b}e^{3}}\) — фор­му­ла ра­ди­у­са пер­вой бо­ров­ской ор­би­ты; 

\(r_{1} = \frac{ħ^{2}}{a_{э}m_{e}e^{3}}\)— ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти за­ко­на Ку­ло­на; 

\(m_{b} = 9,1 ⋅ 10^{-31}кг \) — масса элек­тро­на; 

\(e = 1,6 ⋅ 10^{-19} Кл \) — заряд элек­тро­на.

Решение

В фор­му­ле ра­ди­у­са пер­вой бо­ров­ской ор­би­ты: \(ħ = 1,0546 ⋅ 10^{-34}\) Дж ⋅ с  — кван­то­вая по­сто­ян­ная План­ка. Ра­ди­ус окруж­но­сти, по которому про­ис­хо­дит дви­же­ние, равен: 

\(r_{1} = \frac{ħ^{2}}{k_{э}m_{b}e^{2}}\) = \(0,53 ⋅ 10^{-10} м\)

В соответствии с мо­де­лью Бора во­круг ядра атома во­до­ро­да, заряд ко­то­ро­го +e, вра­ща­ет­ся элек­трон, заряд ко­то­ро­го \(-e\) . Вра­ще­ние происхо­дит за счет силы элек­и­че­ско­го при­тя­же­ния элек­тро­на к ядру. Эта сила, по за­ко­ну Ку­ло­на, равна: 

\(F_{э} = k_{э} ⋅ \frac{b^{2}}{r_1^2} \)

Эта сила в том числе яв­ля­ет­ся цен­тро­стре­ми­тель­ной, чему соответствует формула 

\(F_{э} = k_{э} ⋅ \frac{b^{2}}{r_1^2} = m_{b} ⋅ a\)

В таком случае ускорение можно определить по формуле 

\(a = \frac{k_{э}e^{2}}{m_{e}c_1^2} = \frac{9 ⋅ 10^{-9}(1,6 ⋅ 10^{-19})^{2}}{9,1 ⋅ 10^{-31}(0,53 ⋅ 10^{-10})^{2}} \approx 9 ⋅ 10^{22} \frac{м}{с^{2}}\)

И если цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно \(a = \frac{v^{2}}{r_{1}}\), то скорость можно найти следующим образом: 

\(v = \sqrt{a ⋅ r_{1}} = \sqrt{9 ⋅ 10^{22} ⋅ 0,53 ⋅ 10^{-10}} \approx 2,185 ⋅ 10^{6} \frac{м}{с}\)

В задаче дано:\( e = 1,6 ⋅ 10^{-19} Кл\) – заряд элек­тро­на;  

\(r_{1} = 0,53 ⋅ 10^{-10} м\) — ра­ди­ус ор­би­ты; 

\(v \approx 2,2 ⋅ 10^{6} \frac{м}{с}\) — ско­рость элек­тро­на (мы нашли ее в первой задаче). 

Если сила тока равна 

\(I = \frac{\triangle q}{\triangle t}\)

То в данной задаче\( {\triangle q}= e, {\triangle t} = T\) (период обращения электрона). Пе­ри­од об­ра­ще­ния элек­тро­на равен: 

\(T = \frac{2\pi r_{1}}{v}\)

Таким образом, сила тока, воз­ни­ка­ю­ще­го при дви­же­нии элек­тро­на по ор­би­те ра­ди­у­сом r₁ со ско­ро­стью v, равна:

\(I = \frac{b}{\frac{2\pi r_{1}}{v}} = \frac{bv}{2\pi r_{1}}\)

Если подставить в эту формулу известные данные, то получим решение: 

\(I = \frac{bv}{2\pi r_{1}} = \frac{1,6 ⋅ 10^{-19} ⋅ 2,2 ⋅ 10^{6}}{2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,53 ⋅ 10^{-10}} \approx 1,06 ⋅ 10^{-3} А\)