Расчет теоремы Остроградского-Гаусса для полей в диэлектрике

Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия

Теорема Остроградского-Гаусса или теорема о дивергенции — один из основополагающих законов электродинамики, устанавливающий связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

В отличие от закона Кулона теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить свойства электростатического поля в более общей форме.

Имея заряд \(q\), окруженный замкнутой поверхностью любой формы, в каждой точке этой поверхности можно наблюдать электрическое поле, спровоцированное этим зарядом. Чтобы найти поток напряженности электрического поля, необходимо перемножить напряженность этого поля и сколь угодно малую единицу окружающей заряд поверхности. А после, зная это, можно рассчитать поток напряженности, который проходится на каждую единицу поверхности.

Теорема активно используется в электродинамике, а для более сложных полевых теорий, существуют ее обобщения и аналоги.

Теорема была выведена двумя учеными независимо друг от друга. Российский математик Михаил Остроградский в 1828 году вывел теорему, применимую для векторного поля любой природы, а то время как его немецкий коллега Карл Гаусс, увлекшись изучением магнетизма и электрических полей, представил миру свою теорему применительно к электростатическому полю.

Михаил Остроградский доказал теорему электростатики через уравнение дифференциальной формы, в то время как Карл Гаусс в 1839 году получил аналогичный результат в интегральной форме.

Физический смысл формулы

Вывод формулы в интегральной форме

Начнем с того, что поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность \(S\). Обратим внимание на рисунок 1. В данном случае поток вектора напряженности через \(dS\) будет равен:

\(d\phi_E=EdS\cos\left(\alpha\right)=E_ndS\)

Таким образом, в однородном поле \(\phi_E=ES\) , а в произвольном электрическом поле:

\(\phi_E=\int_SE_ndS=\int_s\overrightarrow Ed\overrightarrow S\)

В этом случае \(d\overrightarrow S=dS\overrightarrow n\) — положение \(dS\) в пространстве задается с помощью вектора \(\overrightarrow n\). То есть направление вектора \(d\overrightarrow S\) совпадает с направлением \(\overrightarrow n\) .

Теперь попробуем вычислить поток вектора \(\overrightarrow E\) через произвольную замкнутую поверхность \(S\), которая окружает заряд \(q\) (рисунок 2). Окружим заряд \(q\) сферой \(S_1\). Центр сферы и центр заряда совпадают, поэтому радиус сферы \(S_1\) равен \(R_1\).

Проекция \(\overrightarrow E\) на направление внешней нормали одинакова на каждой точке поверхности \(S_1\) и вычисляется по формуле:

\(E_n=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{R_1^2}\)

В таким случае поток через \(S_1\) можно узнать, применив формулу:

\(\phi_E=\oint_{S_1}E_ndS=\frac q{4\pi\varepsilon_0}4\pi R_1^2=\frac q{\varepsilon_0}\)

Пример

Далее вычислим поток через сферу \(S_2\), которая имеет радиус \(R_2\) по формуле:

\(\phi_E=\oint_{S_2}\frac q{4\pi\varepsilon_0R_2^2}dS=\frac q{4\pi\varepsilon_0R_2^2}4\mathrm\pi{\mathrm R}_2^2=\frac q{\varepsilon_0}\)

Учитывая непрерывность линии \(\overrightarrow E\), поток через любую поверхность \(S\) будет равен той же величине:

\(\phi_E=\oint_SE_ndS=\frac q{\varepsilon_0}\)

Формула для нескольких зарядов будет записываться следующим образом:

\( \phi_E=\oint_SE_ndS=\frac{\sum_{}q}{\varepsilon_0}\)

Вывод формулы в дифференциальной форме

Дифференциальная форма теоремы используется для расчета электростатического поля в случае произвольного пространственного распределения зарядов. В этой форме отражена связь между объемной плотностью заряда \(\rho\) и изменением \(\overrightarrow E\) вокруг этой точки пространства.

Используем теорему Остроградского-Гаусса, в соответствии с которой поток вектора \(\overrightarrow A\) через любую замкнутую поверхность равняется интегралу от его дивергенции по объему, охваченному этой поверхностью:

\(\oint_SA_ndS=\int_Vdiv\overrightarrow AdV\).

Пример

В данном случае \(div\overrightarrow A\) в любой точке поля обозначает предел отношения потока вектора \(\overrightarrow A\) через замкнутую поверхность \(S\), которая охватывает точку \(M\), к объему \(\triangle V\) части поля, ограничиваемой поверхностью \(S\), при неограниченном уменьшении \(\triangle V\) :

\(div\overrightarrow A=\lim_{\triangle V\rightarrow0}\frac1{\triangle V}\oint(\overrightarrow Ad\overrightarrow S)\).

Вернемся к заряду. Предположим, что он распределен в пространстве \(\triangle V\), а его объемная плотность \(<\rho>\), тогда в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса:

\(\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac q{\varepsilon_0}\) или же\( \oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac{<\rho>\triangle V}{\varepsilon_0}\).

Если устремить \(\triangle V\) к \(0\), притягивая его к нужной нам точке, то в этом случае \(<\rho>\) в этом точке будет стремиться к \(\rho\), то есть \(\frac{<\rho>}{\varepsilon_0}\rightarrow\frac\rho{\varepsilon_0}.\)

Этим же способом определяется дивергенция любого векторного поля.

Применение формулы

Формула используется для того, чтобы преобразовать объемный интеграл в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

В матанализе формула теоремы Остроградского-Гаусса используется для вычисления дивергенции, то есть потока векторного поля через поверхность окрестности по внешним направлениям. Принимая во внимание то, что поток векторного поля через замкнутую поверхность \(\delta\) в направлении внешней единичной нормали \(\overline{n_0}\) равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу \(T\), которое эта поверхность

Применение теоремы

Для расчета электростатического поля

Теорема Остроградского-Гаусса применяется для расчета электростатического поля для тех задач, где поле имеет специальную симметрию. Например, плоскую, цилиндрическую или сферическую. В данном случае на эффективность применения теоремы влияют симметрия и конфигурация поля, которые должны соответствовать двум условиям:

• заряженное тело должно быть окружено простой замкнутой поверхностью;
• вычисление потока вектора напряженности необходимо свести к умножению \(Е\) (или \(E_n\)) на площадь поверхности \(S\) или часть нее.

Если исходные данные не соответствуют условиям, то при решении задачи необходимо использовать другие методы.

Для плоскости

Рассмотрим применение теоремы для равномерно заряженной плоскости.

Задача

Предположим, что заряд положительный, а плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью, что выражается в формуле \(\delta=\frac{dq}{dS}\). Благодаря симметрии можно сделать вывод, что напряженность в любой точке поля обладает направлением, перпендикулярным плоскости. Из этого же можно сделать вывод, что во всех точках, симметричных плоскости, напряженность поля одинакова, но ее направление противоположно.

Отметим на заряженной плоскости площадь \(\triangle S\). Определим вокруг площадки замкнутую цилиндрическую поверхность (рисунок 3) так, чтобы ее образующие основания были перпендикулярны плоскости, располагались симметрично, относительно нее и имели величину \(\triangle S\).

А теперь используем теорему Остроградского-Гаусса: \(\oint_SE_ndS=\frac1{\varepsilon_0}{\textstyle\sum_{}^{}}q_1\). Так как в этом случае \(E_n=0\) в каждой точке, через боковую часть потока не будет. В случае оснований \(E_n=E\), а исходя из этого совокупный поток через поверхность равен \(2E\triangle S\).

Посмотрим теперь внутрь поверхности. Там заключен заряд \(\delta\triangle S\). В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса, должно быть выполнено условие: \(2E\triangle S=\frac{\delta\triangle S}{\varepsilon_0}\), из чего следует \(E=\frac\delta{2\varepsilon_0}\).

Так как напряженность поля равна на любых расстояниях от плоскости, в вычисления не нужно включать длину цилиндра. Если плоскость заряжена, то направление векторов изменяется на противоположное.

Для сферической поверхности

Задача

Возьмем поле, которое создает сферическая поверхность с радиусом \(R\), заряженное с постоянной поверхностной плоскость \(\delta\). Так как этому полю характерна центральная симметрия, направление вектора \(\overrightarrow E\) в любой точке проходит через центр сферы. Учитывая это, мы знаем, что значение напряженности можно выразить функцией расстояния \(r\) от центра сферы.

Вычислим напряженность поля. Для начала расчетов проведем через точки на A и B (на рисунке 1.1) сферические поверхности для вычисления потока вектора, проходящего через них. Точка B располагается внутри заряженной поверхности, а ее расстояние от центра составляет \(r\) (при\( r<R\)). Внутри поверхности, которую мы провели через эту точки, заряд содержаться не будет, а, значит, по теореме Остроградского-Гаусса \(\oint_SE_ndS=\frac1{\varepsilon_0}{\textstyle\sum_{}^{}}q_1\), напряженность в этой точки будет равняться нулю.

Теперь обратимся к полю, созданному заряженной сферической поверхностью в точке A, чье расстояние от центра сферы равно \(r\). Поместим заряженное тело в замкнутое сферическую поверхность радиусом r, проходящей через точку A. В этом случае \(E_n=E(r)\) справедливо для всех точек этой поверхности. Заряд \(q\), создающий данное поле, пропадает внутри этой поверхности. Таким образом, \(E(r)4\mathrm{πr}^2=\frac{\mathrm q}{{\mathrm\varepsilon}_0},\;\mathrm{потому}\;\mathrm{что}\;\oint(\overrightarrow{\mathrm E}\mathrm d\overrightarrow{\mathrm S})=\frac{\sum_{}{\mathrm q}_1}{{\mathrm\varepsilon}_0}\). Из этого следует, что напряженность поля в точках, располагающихся на расстоянии \(r>R\), равняется \(E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{r^2}\).

В диэлектрике

Диэлектрики влияют на электрического поле. Это влияние выражается в ответном действии поляризационных зарядов, которые возникают в поле. Исходя из этого теорему Остроградского-Гаусса для тел в вакууме можно видоизменить, прибавив к свободным зарядам поляризационные, и тогда эту теорему можно применять в диэлектрической среде.

В этом случае \(\overrightarrow D\) — это вектор электрического смещения, \(q_i\) — это свободные заряды, а \(Q\) — суммарный свободный заряд, находящийся внутри объема, ограниченного поверхностью \(S\). В вакууме векторы \(\overrightarrow D\) и \(\overrightarrow E\) совпадают.

Для расчета магнитного поля

Задача

Выделим элементарную бесконечно малую площадку \(dS\) в магнитном поле. Предположим, что она настолько маленькая и плоская, что вектор B можно признать одинаковым по величине и направлению в каждой точке магнитного поля, независимо от того однородно оно или нет.

Тогда поток вектора магнитной индукции сквозь \(dS\) можно определить с помощью выражения \(d\phi=BdS\cos\left(\overrightarrow B\wedge d\overrightarrow S\right)=B_ndS=\overrightarrow Bd\overrightarrow S \).

В данном случае \(B_n\) равно \(B\cos\left(\alpha\right)\), где \(\alpha\) это острый угол между направлениями вектора \(В\) и нормалью. \(B_n\) — это проекция вектора магнитной индукции в области нахождения площадки \(dS\) на направление нормали (рисунок 4).

Определение потока магнитной индукции через произвольную поверхность звучит как сумма потоков через элементарные площадки, на которые разбита эта поверхность, и выражается в виде интеграла по этой поверхности:

Области применения теоремы

Ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в формулировке общих свойств электрического поля. Она — один из основных постулатов теории электричества. Поэтому широко применяется в общей и учебной физике и таких ее областях как электромагнетизм, электростатика и механика, с ее помощью решают задачи и изучают векторные (в том числе электромагнитные) поля.

Кроме этого теорема применяется в электродинамике, гидродинамике и математическом анализе.