Циркуляция вектора индукции магнитного поля
Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля
Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.
В виде формулы теорема записывается следующим образом:
\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_{k=1}^n\;=\;M_0I\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В данном случае I будет означать полный ток.
Теорема используется для того, чтобы облегчить вычисление индукции магнитного поля, созданного совокупностью токов, текущих по проводам. Упрощение достигается с учетом симметрии и конфигурации токов. К примеру, с применением этой теоремы возможен расчет магнитной индукции для проводников с высокой степенью симметрии.
Взглянем на циркуляцию вектора \(\overrightarrow B\). Предположим, что условный замкнутый контур находится в пространстве с магнитным полем, а также предположим направление его обхода. В таком случае, касательная составляющая \(B_l\) вектора \(\overrightarrow B\) определяется на каждом отдельно взятом маленьком участке \(\triangle l \) этого контура. Иными словами определяется проекция вектора \(\overrightarrow B\) на направление касательной к определенному участку контура.
Циркуляцией вектора \(\overrightarrow B\) является сумма произведений \(B_l\) и \(\triangle l\), которая взята по целому контуру L: \(\overrightarrow B = \textstyle\sum_{(L)} B_l \triangle l.\)
Исходя из этого, можно сформулировать следующее: принимая во внимание теорему о циркуляции, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) магнитного поля постоянных токов по каждому из контуров L в любой момент времени рассчитывается как произведение магнитной постоянной \(\mu_0\) на сумму всех токов:
\({\textstyle\sum_{(L)}}\;B_l\;\triangle l\;=\;\mu_0\;{\textstyle\sum_{}}\;l_i\)
Вывод из теоремы: так как циркуляция индукции магнитного поля не равняется нулю, магнитное поле прямолинейного тока не будет являться потенциальным.
\(\oint\limits_L\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;\neq0\) , где \(\overrightarrow B\) обозначает вектор магнитной индукции, а dl является элементом произвольного контура L.
Чему равна циркуляция, закон Био–Савара
Циркуляция вектора \( \overrightarrow B\) прямолинейного тока вдоль замкнутого контура, который не охватывает этот проводник, равняется нулю. В случае, когда несколько токов оказываются охваченными контуром, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) равняется их алгебраической сумме:
\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)
Закон Био-Савара определяет вклад \(\triangle\overrightarrow B\) в магнитную индукцию \(\overrightarrow B\) результативного магнитного поля, образуемого маленьким участком \(\triangle l \) проводника с током I.
\(\triangle B\;=\;\frac{\mu_0\;I\;\triangle l\;\sin\left(\alpha\right)}{4\pi r^2}\)
В данном случае r является расстоянием от заданного участка \(\triangle l\) до точки наблюдения, \(\alpha\) обозначает угол между направлением на точку наблюдение и направлением тока на определенном участке, а \(\mu_0\) является магнитной постоянной.
Благодаря закону Био-Савара можно определить магнитные поля током с различными конфигурациями и вычислить магнитное поле в центре кругового витка с током.
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции
Предположим, что S — это поверхность, охватываемая контуром L. Правило правого винта будет связывать проложенную к поверхности нормаль и направление обхода контура L. В таком случае определить силу тока, текущего через поверхность S, можно с помощью следующей формулы:
\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)
В этой формуле \(\overrightarrow j\) будет обозначать объемную плотность тока.
Исходя из этого, используем следующее написание формулы:
\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)
Теперь образуем ротор вектора \(rot\overrightarrow B\), основываясь на теореме Стокса, уточним, что:
\(rot\overrightarrow B\;=\;\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac\partial{\partial x}&\frac\partial{\partial y}&\frac\partial{\partial z}\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix} = 0\)
Тогда формула примет вид:
\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)
Теперь можно записать теорему о циркуляции в дифференциальной форме:
\(rot\overrightarrow B\;=\;\frac{4\pi}c\overrightarrow j\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
