Формулировка уравнения Майера: вывод формулы

Роберт Майер является одним из основоположников первого начала термодинамики и механической теории теплоты. В 1842 году он вычислил механический эквивалент теплоты, показывающий соотношение между теплотой и работой или механической энергией.

Уравнение Майера — какие процессы описывает

Уравнение Майера описывает соотношение теплоемкостей 1 моля идеального газа при его постоянном давлении \(C_p\) и неизменном объеме \(C_V:\)

\(C_p-C_v=R,\) где

\(C_p\)— постоянное давление газа;

\(C_V\) — постоянный объем газа;

R — универсальная газовая постоянная, равная:

R = 8,314 \(Дж/(моль*Л).\)

Идеальный газ состоит из молекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало.

Моль — величина, описывающая количество вещества, которое содержит в себе количество частиц, равное постоянной Авогадро \(Na\):

\(Na = 6,022\cdot10^{23}\;моль^{-1}\)

Понятие теплоемкости

Теплоемкость С — количество тепла, которое нужно передать телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус:

\(С=d'Q/dT\), где 

С — удельная теплоемкость;

d'Q — теплота;

dT — температура, [К].

Величина С зависит от процесса, и без него данная формула не имеет смысла. То есть она является функцией.

Теплоемкость называется удельной, когда в системе используется тело с массой в 1 кг.

В зависимости от количественной единицы вещества теплоемкость делится на три вида:

1. Мольная — \(C_\mu\), [Дж/кмоль·К].
2. Массовая — С, [Дж/кг·К].
3. Объемная — С´, [Дж/м3·К].

Величина С зависит от температуры линейно и нелинейно.

В простейших инженерных расчетах может приниматься либо постоянная зависимость теплоемкости от температуры, либо принимают, что теплоемкость не меняется с ее изменением. Тогда ее не учитывают, но расчет получается приблизительным.

В варианте с линейной зависимостью с возрастанием температуры возрастает и величина С.

С возрастанием температуры необходимо больше подводить теплоты к газу, чтобы повысить температуру и теплоемкость на равный интервал. Теплота \(q_2\) будет больше, чем теплота \(q_1.\)

В данном интервале температур \(t_1-t_2, t_3-t_4,t_n-t_{n+1}\) рассчитывают среднюю теплоемкость:

\(\overline C=\frac{q_1}{t_2-t_1}=\frac{q_2}{t_4-t_3}\), где

\(\overline C\) — средняя теплоемкость, рассчитанная для интервала температур.

Формула для расчета линейной зависимости теплоемкости от температуры:

 C=a+b·t,

где a, b — постоянные коэффициенты для конкретного газа,

t — данная температура для газа. Разным температурам соответствуют свои коэффициенты.

Для высчитывания средней теплоемкости при изменении температур от \(t_1\) до \(t_2\) (например, от 100⁰С до 160⁰С), пользуются соотношением:

\( \overline C=a+b\frac{t_1+t_2}2.\)

Постоянные коэффициенты для конкретных газов в известных условиях приведены в справочных таблицах.

При нелинейной зависимости теплоемкость и температура могут возрастать различными интервалами. Для расчета нелинейной зависимости С от t применяют формулу:

\( \overline{C_{t_1}^{t_2}}=\frac{C_0^{t_2}\cdot t_2-C_0^{t_1}\cdot t_1}{t_2-t_1}\)

\( C_0\) — начальные теплоемкости при некой температуре. Их можно найти в справочных таблицах «Средняя объемная теплоемкость газов при постоянном давлении».

Формула Майера для теплоемкостей, вывод из первого закона термодинамики

Формула Майера для теплоемкостей

Теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме обозначают следующим образом:

• \(C_p\) и \(C_v\) — массовые;
• \(C'_p\) и \(C'_v\) — объемные;
• \(C_{p\mu}\) и \(C_{v\mu}\) — мольные.

Уравнение Майера для массовых теплоемкостей имеет вид:

\( C_p-C_v=R.\)

Формулы для расчета этих теплоемкостей следующие:

\(C_v=\frac R{k-1}; C_p=\frac{R\cdot k}{k-1}.\)

Для выведения газовой постоянной \(R_\mu\) и формулы Майера для мольных теплоемкостей необходимо все части уравнения умножить на молярную массу:

\( \mu\cdot C_p-\mu\cdot C_v=R_\mu.\)

 Для расчета теплоемкости не отдельных газов, а их смеси, применяют формулу для определения массовой теплоемкости газовой смеси, которая рассчитывается как сумма произведений массовых долей компонента, умноженная на массовую теплоемкость данного компонента:

\(C_{см}=\sum_{i=1}^n\left(g_i\cdot C_i\right)\)

Мольная теплоемкость смеси рассчитывается как сумма произведений объемных долей, умноженная на \(C_\mu\) этого компонента:

\(C_{\mu\cdot см}=\sum_{i=1}^n\left(r_i\cdot C_{\mu\cdot i}\right).\)

Понятие термодинамики, вывод формулы Майера из первого закона термодинамики

Термодинамика изучает макросистемы, состояние которых характеризуют термодинамические параметры: давление, объем, температура и т.д.

Формулировка первого закона термодинамики: при переходе из начального состояния 1 в конечное состояние 2 внутренняя энергия макросистемы складывается из работы, совершенной над системой внешними макроскопическими силами, и из тепла, переданного системе:

\( U_2-U_1=Q+A'.\)

Как правило, для расчетов используют ту работу А, которую совершила сама система над внешними телами, а не работу, проведенную по отношению к системе.

Вывод уравнения первого начала термодинамики производится с учетом того, что \(A'=-A:\)

\(Q=\triangle U+A\), где

\( \triangle U=U_2-U_1.\)

Первое начало термодинамики выражается этим правилом: количество теплоты Q, подведенное к макросистеме, идет на совершение системой работы A и изменение ее внутренней энергии \(\triangle U.\)

Для вывода уравнения Майера из первого закона термодинамики учитывают уравнения:

\(\left(\frac{\partial U}{\partial V_t}\right)=0; {\left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)}_p=\frac RP.\)

Тогда уравнение Майера и количественное выражение первого закона термодинамики будет следующим:

\(\delta Q=C_vdt+PdV.\)

Данное уравнение справедливо для газа, у которого \(C_p\) и \(C_v = const\)., и для газа, у которого \(C_p=C_p(t)\) и \(C_p=C_v(t).\)

Как записывается соотношение для молярных и массовых теплоемкостей

Опираясь на формулу теплоемкости \(C=\frac{\delta Q}{dT}\) и учитывая, что количество вещества Z (количество молей), содержащееся в теле, влияет на его теплоемкость, запишем соотношение для молярных теплоемкостей:

\(C_m=\frac CZ.\)

Задачи на определение теплоемкостей

При расчете удельных теплоемкостей необходимо учитывать отличия между реальными и идеальными газами:

1. На теплоемкость идеальных газов влияет не только температура, но и количество в них атомов, и характер процесса. То есть она будет разной, в зависимости от того, сколько атомов имеет тот или иной идеальный газ.
2. На теплоемкость реальных газов влияют не только температура, давление и характер процесса, но и их природные свойства. 

Теплоемкость принимают в большей степени для идеальных газов, поскольку в основном расчет и ориентация идут на них.

Примеры задач и их решение

Задача 1

Условия:

Один моль идеального газа нагрели. Давление стало пропорционально его объему:

\(p=\alpha V,\)

где α — постоянная.

Найти теплоемкость газа.

Решение:

Помня о том, что газ при разных способах нагревания совершает разную работу, делаем вывод, что теплоемкость будет различной и при разных температурах.

Используя первое начало термодинамики для теплоемкости идеального газа:

\( \triangle Q=\triangle U+\triangle A\), (1)

получим:

\(C=C_v+\frac{\triangle A}{\triangle T}.\) (2)

Чтобы найти теплоемкость С необходимо определить работу ∆А, которую совершает газ в рассматриваемом процессе при нагревании его на ∆T.

Совершаемая газом работа ∆А при расширении в условиях постоянного давления вычисляется по формуле:

\(\triangle A=p\triangle V.\) (3)

В условиях, когда давление не остается постоянным, для вычисления работы ∆A необходимо ∆V выбрать настолько малым, чтобы изменением давления газа при расширении можно было бы им пренебречь.

Для этого применим уравнение состояния:

\(pV=RT.\) (4)

Пусть при изменении температуры газа на ∆T его объем изменился на ∆V, а давление — на ∆p.

Уравнение \(\left(p+\triangle p\right)(V+\triangle V)=R(T+\triangle T)\) (5) связывает эти изменения.

Вычитаем выражения (4) и (5) и пренебрегаем \(\triangle p\triangle V\), получаем:

\( p\triangle V=V\triangle p=R\triangle T\) (6).

Возьмем во внимание формулу (1) и учтем, что в данном процессе давление газа пропорционально его объему. Получим:

\( V\triangle p=\alpha V\triangle V=p\triangle V\) (7).

Подставляем V∆p из выражения (6) и (7), найдем

\( \triangle A=p\triangle V=\frac12R\triangle T\).

С помощью формулы (2) найдем теплоемкость газа в этом процессе:

\( C=C_v+\frac R2.\)

Поскольку \(C_v\) и \(C_p\) связаны, представим теплоемкость и получим ответ:

\(C=\frac12\left(C_v+C_p\right).\)

Задача 2

Условия:

Имеется цилиндр, у которого стенки AC, BD, крышка CD и поршень MN не проводят тепло. Дно AB проводит тепло. Поршень движется в цилиндре без трения. Сверху и снизу поршня присутствует по одному молю идеального газа с показателем адиабаты γ. Молярная теплоемкость газа Cv постоянна по объему. При квазистатическом изменении температуры первого газа поршень начинает перемещение.

Выразите теплоемкость первого газа \(C_1\) при таком процессе через объемы газов \(V_1\) и \(V_2\). Чему равна теплоемкость второго газа \(C_2?\)

Решение:

Элементарное количество тепла, получаемое первым газом:

\(\delta Q=C_vdT_1+P_1dV_1=C_vdT_1+RT_1dV_1/V_1.\)

А вторым газом — \(\delta Q_2=0.\)

Поэтому \(C_2=0\) и \(C_vdT_2+RT_2dV_2/V_2=0.\)

Из равенства давлений \(P_1\) и \(P_2\) следует:

\(V_1/V_2=T_1/T_2,\)

откуда \(dV_1/V_1+dV_2/V_1=dT_1/T_1-dT_2/T_2.\)

Так как объем системы не изменяется, то

\(dV_1+dV_2=0.\)

Исключая \(dV_2\) и \(dT_2\), получим:\(\left(\frac1{v_1}+\frac1{v_2}+\frac R{C_v}\frac1{v_2}\right)dV_1=\frac{dT_1}{T_1}. \) Используя также уравнение Майера \(C_p-C_v=R\), найдем

\(\delta Q_1=\left(C_v+R\frac{V_2}{V_2+\gamma V_1}\right)dT_1.\)

Следовательно:

\(C_1=C_v+\frac{V_2}{V_2+\gamma V_1}R=\frac{V_1+V_2}{V_2+\gamma V_1}\gamma Cv..\)

При \(V_1=V_2\)

\(C_1=2\gamma C_v/\left(\gamma+1\right).\)

Задача 3

Условия:

Определите удельную теплоемкость кислорода при постоянном объеме. Газ нагрет до очень высокой температуры, приблизительно до нескольких килоэлектрон-вольт.

Решение:

\(C_v=\frac{27}{32}R=1,68\;кал/(г\cdot К)\approx7,0\;Дж/(г\cdot К).\)

Задача 4

Условие:

Посчитайте по классической теории удельной теплоемкости при постоянном давлении газа следующего молярного состава:

He — 20 %, H2 — 30 %, CH4 — 50 %.

Молярный состав — количество молей данного газа по отношению к общему числу молей газовой смеси.

Решение:

\( C_p=\frac{71}{188}R\approx0,75\;кал/(г\cdot К)\approx3,14\;Дж/(г\cdot К)\)

Задача 5

Условие:

Найдите полярную теплоемкость водорода \(C_v\). Коэффициент диссоциации α = 0,25. Молярная теплоемкость атомарного водорода \(C_{v1} = 2,94\) \(кал/(моль·⁰С)\). \(C_{v2}\)молекулярного водорода \(= 4,9\) \(кал/(моль·⁰С).\)

Решение:

\( C_v=(2C_{v1}-C_{v2})\alpha+C_{v2}=5,15\;кал/(моль\cdot К)\approx21,5\;Дж/(моль\cdot К).\)