Уравнение движения материальной точки

Что такое движение материальной точки

В механике рассматривают перемещение объектов. Принципы характерны для материальной точки и твердого тела. Термин «материальная точка» введен с целью упростить решение практических задач. В случае, когда габариты объекта существенно меньше, чем расстояние, которое он преодолевает, либо размеры других тел, то условно данный объект обозначают материальной точкой.

В одинаковое время положение точки в пространстве может отличаться в зависимости от того, относительно какого тела осуществляются наблюдения. С помощью системы координат и тела отсчета описывают перемещение материальной точки в пространстве. Согласно элементарным математическим закономерностям, задать положение какой-либо точки на плоскости можно, воспользовавшись системой координат.

Из начала координат можно вывести еще одну прямую, которая будет являться перпендикуляром к плоскости. Подобная система позволит задать положение точки в пространстве. Другим методом является применение радиус-вектора.

В течение времени движущаяся материальная точка меняет свое положение в пространстве. Для того чтобы выполнить расчет положения точки в какой-либо определенный момент времени, необходимо провести измерения времени.

Выбор системы отсчета определяется следующими характеристиками:

• траектория;
• пройденный путь;
• перемещение;
• скорость.

Траектория включает множество точек, в которых рассматриваемая материальная точка была зафиксирована в прошедший момент времени, находится в данное время и будет замечена в будущий временной период.

Путем называют скалярную величину, которая всегда характеризуется положительным значением. При перемещении материальной точки пройденный ей путь может только увеличиваться.

Система отсчета и координат

Точки, которые присутствуют в пустом пространстве, не различают. Рассуждать о точке целесообразно, когда в ней находится материальная точка. Система координат позволяет выполнить измерения, которые необходимы для вычисления пространственных координат. Исходя из полученных данных, определяют положение материальной точки в пространстве. В качестве примера можно рассмотреть поверхность нашей планеты. Тогда для определения положения необходимо вычислить широту и долготу заданной точки.

В теоретических расчетах применяют декартову прямоугольную систему координат. С ее помощью можно определить положение точки при условии наличия радиус-вектора \(\bar{r}\) и трех проекций x, y, z, которые являются координатами точки.

Другие способы решения задачи на определение положения материальной точки:

1. Сферическая система, включая положение точек и радиус-вектор, которые определены с помощью координат r, υ, ϕ.
2. Цилиндрическая система с координатами p, z, α.
3. Полярная плоскость с характеристиками r, ϕ.

В теоретических расчетах, как правило, пренебрегают реальной системой отсчета. Обычно для измерений используют ту систему, которая является математической моделью реальной, применяемой для практических исследований.

Какому закону подчиняется движение точки в пространстве

Кинематические законы движения

Механическое движение представляет собой изменение положения тела по отношению к другим телам, входящим в систему отсчета. Для описания движения тела выбирают систему отсчета, состоящую из следующих компонентов:

• тело отсчета;
• система координат, связанная с телом отсчета;
• измерительный прибор, отмеряющий время.

Основными способами описания движения тела являются:

• координатный или скалярный;
• векторный;
• траекторный или натуральный.

Если тело рассматривают в рамках декартовой системы координат, то положение материальной точки М определяется с помощью радиус-вектора \(\bar{r}\)  и трех координат x, y, z. Радиус-вектор проводят из начала системы координат к рассматриваемой точке.

Во время движения материальной точки фиксируют изменение ее координат:

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

С помощью данных формул можно рассчитать перемещение точки координатным методом. Радиус-вектор будет определяться, согласно следующему уравнению:

\(\bar{r}=x(t)\bar{i}+y(t)\bar{j}+z(t)\bar{k}\)

где \(\bar{i}, \bar{j},\bar{k}\) являются единичными векторами по осям X,Y,Z.

Векторное кинетическое уравнение движения материальной точки будет записано таким образом:

\(\bar{r}=\bar{r}(t)\)

Представленные уравнения являются кинетическими законами движения материальной точки. Эти закономерности необходимы для полноценного описания перемещения токи в пространстве. Найти модуль или длину радиус-вектора можно с помощью формулы:

\(r=\sqrt{(x(t))^{2}+(y(t))^{2}+(z(t))^{2}}\)

Динамические законы движения материальной точки

В динамике движение материальной точки рассматривают, исходя из воздействия сил, приложенных к рассматриваемой точке. Ключевые закономерности классической динамики сформулировал Ньютон.

В виде формулы второй закон Ньютона можно записать следующим образом:

\(\bar{F}=\sum{\bar{F_{i}}}\)

\(\bar{F}=m\bar{a}\)

Дифференциальные уравнения для перемещения материальной точки записывают в таком виде:

\(m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\sum{F_{ix}}\)

\(m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\sum{F_{iy}}\)

\(m\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\sum{F_{iz}}\)

где х, у, z являются координатами движущейся материальной точки,

\({F_{ix}}, {F_{iy}}, {F_{iz}}\)  представляют собой проекции сил, которые воздействуют на точку.

Согласно дифференциальным уравнениям движения материальной точки, зная массу, можно найти силы, которые оказывают на рассматриваемую точку воздействие.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

В любой системе отсчета или координат можно определить координаты материальной точки в разные моменты времени. Если определены положение и материальная точка в какой-либо системе отсчета, ее перемещение называют заданным или описанным. Такое условие соблюдается, благодаря применению кинематического уравнения движения:

\(\bar{r}=\bar{r}(t)\)

При наличии указанного положения в любой момент времени t считается, что движение точки, согласно первому уравнению, определено. В этом случае необходимо задать декартовы координаты точки в виде однозначных и непрерывных функций времени:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z 

Прямоугольными декартовыми координатами x, y, z являются проекции радиус-вектора, который выведен из начала координатной системы. Понятно, что длина и направление радиус-вектора рассчитывается из соотношений, в которых a, β, γ представляют собой углы с координатными осями, которые образованы радиус-вектором. Таким образом, кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах будут следующие равенства:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z 

Данные формулы можно записать с помощью другой системы координат, связанной с декартовой по средствам однозначных преобразований. В случае, когда точка перемещается в плоскости Оху, можно воспользоваться полярными координатами r, ϕ, которые относятся к декартовым преобразованиям. При этом используют формулу движения точки, записанную следующим образом:

r(t)=r, ϕ(t)=ϕ

Кинематическое уравнение для описания перемещения точки в криволинейных координатах q₁, q₂, q₃, которые связаны с декартовыми преобразованиями:

x = x (q₁, q₂, q₃), y = y (q₁, q₂, q₃), z = z (q₁, q₂, q₃) 

будет представлено в следующей форме:

q₁ = q₁ (t), q₂ = q₂ (t), q₃ = q₃ (t)

Кривая радиус-вектора, которую описывает конец вектора в процессе перемещения точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическим уравнением траектории с t являются следующие равенства:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z 

q₁ = q₁ (t), q₂ = q₂ (t), q₃ = q₃ (t).

Исключая время из кинематических уравнений, получают вид координатного уравнения траектории. Для того чтобы определить движение точки, необходимо задать ее траекторию и мгновенное положение точки на ней. Положение точки на кривой рассчитывают по средствам лишь одной характеристики, которой является расстояние вдоль кривой от некого начала отсчета с положительным направлением:

s=s(t)

Данная формула представляет собой уравнение движения точки по траектории. Метод его записи является естественным или траекторным. Установлена физическая эквивалентность понятий координатного и естественного метода задания движения материальной точки. С точки зрения математики, данное положение представляет собой возможность использования разных методик в зависимости от конкретных условий задачи. Задать такую закономерность можно с помощью аналитических, графических или табличных средств.