Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — основная идея и физическая суть

Закономерности, выведенные Максвеллом, в электродинамике имеют такое значение, как, к примеру, законы Ньютона для классической механики и постулаты Эйнштейна в теории относительности. Это фундаментальные уравнения, которые подтверждены экспериментальным путем.

Уравнения Максвелла подвергались критике со стороны современников ученого, так как не вписывались в установленные стандарты и представления того времени. Однако закономерности послужили началом активного развития науки и причиной переворота в восприятии картины мира. Постулаты предшествовали открытию радиоволн и продемонстрировали электромагнитную природу света. Формулы Максвелла справедливы для макромира и области квантовой механики.

Что описывают четыре уравнения

1. Из первой закономерности рассматривается поток электрического поля Е сквозь какую-либо поверхность замкнутого типа. Можно наблюдать зависимость между потоком и суммарным зарядом. Уравнение является законом или теоремой Гаусса.
2. Второе уравнение Максвелла выражает закон Фарадея, на основе которого функционируют электрические моторы. В двигателях возникает ток в катушке в процессе вращения магнита.
3. Третье уравнение Максвелла также представляет собой закон Гаусса, но в рамках электрического поля. В этом случае для потока магнитного поля будет характерно нулевое значение. Положительные и отрицательные заряды существуют отдельно друг от друга и порождают вблизи электрическое поле, а магнитные заряды — отсутствуют в природе.
4. Четвертый постулат Максвелла имеет наибольшее значение. Исходя из уравнения, был введен термин тока смещения. Данная формула получила название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Смысл уравнений Максвелла:

1. Первое уравнение — электрическое поле сформировано электрическим зарядом.
2. Второе уравнение — вихревое электрическое поле формируется в результате изменений магнитного поля.
3. Третье уравнение — магнитные заряды отсутствуют в природе.
4. Четвертое уравнение — вихревое магнитное поле является результатом электрического тока и изменений электрической индукции.

Как записать в интегральной форме

Первое уравнение

Первое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона полного тока. Формула выглядит следующим образом:

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\vec{I}\)

\(I_{пол} = I_{пр} + I_{см}\)

\(\vec{I}=\int_{S}^{}{\vec{\delta } d\vec{S}}\)

\(δ_{пол} = δ_{пр} + δ_{см}\)

S опирается на контур L.

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\int_{S}^{}{\vec{\delta }d\vec{S}}\)

Согласно теореме Стокса:

\(\oint_{L}^{}{\vec{H}\vec{dl}}=\int_{S}^{}{rot\vec{H}d\vec{S}}=\int_{S}^{}{\vec{\delta }d\vec{S}}\)

Уравнение справедливо для любых поверхностей, которые опираются на материальный контур L. Исходя из этого, подынтегральные функции равны.

\(rot\vec{H}=\vec{\delta }\)

\(\vec{\delta }=\vec{\sigma E}\)

Данная формула является дифференциальной формой закона Ома.

\(\vec{\delta }=\frac{d\vec{D}}{dt}\)

Первое уравнение Максвелла имеет вид:

\(rohH=\sigma E+\frac{d\vec{D}}{dt}\)

Физический смысл данной расшифровки заключается в том, что в качестве источников вихревых магнитных полей выступают токи проводимости и токи смещения.

Второе уравнение

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона электромагнитной индукции и ее свойств:

\(\oint_{L}^{}{\vec{E}\vec{dl}}=-\int_{S}^{}{\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)}\vec{dS}\)

\(\int_{S}^{}{rot\vec{E}\vec{dS}}=-\int_{S}^{}{\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)}\vec{dS}\)

Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=-\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)\)

Физический смысл заключается в том, что переменное электрическое поле создается вихревым электрическим полем.

Третье уравнение

Третье уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку теоремы Гаусса для электрических полей:

\(\oint_{S}^{}{\vec{D}d\vec{S}}=Q\)

С помощью теоремы Островского-Гаусса можно выполнить переход от поверхностного интеграла \( \left(\vec{D} \right)\) к объемному интегралу (\(div D\)):

\(\oint_{S}^{}{\vec{D}dS}=\int \int \int_{V}^{}{div\vec{D}d\vec{V}}\)

Можно записать правую часть формулы для объемного заряда. После объединения двух уравнений получим:

\(Q_{V}=\int pdV\)

Третье уравнение Максвелла:

\(\int_{V}^{}{div\vec{D}dV}=\int_{V}^{}{pdV}\Rightarrow div\vec{D}=p\)

Физический смысл закономерности заключается в том, что электрическое поле образовано источниками в виде зарядов с определенной плотностью.

Четвертое уравнение

Четвертым уравнением Максвелла является дифференциальная формулировка теоремы Гаусса, справедливая в условиях магнитного поля:

\(\oint_{S}^{}{\vec{B}d\vec{S}}=0\)

Четвертое уравнение Максвелла имеет вид:

\(div\vec{B}=0\)

Физический смысл четвертого уравнения Максвелла выражается в нулевом значении дивергенции вектора \(\vec{B}\) для какой-либо точки в пространстве. Таким образом, сделан вывод об отсутствии источников или магнитных зарядов в природе.

Закон сохранения заряда в дифференциальной форме

Данная формула имеет следующий вид:

\(\oint_{S}^{}{\vec{\delta }}d\vec{S}=-\int_{V}^{}{\left(\frac{dpV}{dt} \right)dV}\)

С помощью теоремы Островского-Гаусс можно вывести уравнение, которое будет являться результатов предыдущих закономерностей:

\(\int_{V}^{}{div\vec{\delta}dV}=-\int_{V}^{}{\left(\frac{dpV}{dt} \right)}dV\Rightarrow div\vec{\delta }=-\left(\frac{dpV}{dt} \right)\)

Запись уравнения Максвелла в дифференциальной форме

\(roh\vec{H}=\sigma \vec{E}+\left(\frac{d\vec{D}}{dt} \right)\)

\(roh\vec{H}=\vec{\delta _{pr}+\vec{\delta _{sm}}}\)

\(rot\vec{E}=-\left(\frac{d\vec{B}}{dt} \right)\)

\(div\vec{D}=p\)

\(div\vec{B}=0\)

\(div\vec{\delta }=-\left(\frac{dpV}{dt} \right)\)