Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия, описание

Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.

Связь выборочной и генеральной дисперсии

Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.

Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.

Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:

\({\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^n{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n\)

Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n₁, n₂,…,n_k формула выглядит следующим образом:

\({\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n\)

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

\({\widehat\sigma}_В=\sqrt{{\widehat D}_В}\)

Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:

\(D=\overline{x^2}-\left[\overline x\right]^2\)

Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за x_i принимается центр частичных интервалов. 

Пример

Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:

• x_i: 1, 2, 3, 4;
• n_i: 20, 15, 10, 5.

Решение

Для начала необходимо определить выборочную среднюю:

\({\overline x}_В=\frac1{50}(1\cdot20+2\cdot15+3\cdot10+4\cdot5)=\frac1{50}\cdot100=2\)

Затем найдем выборочную дисперсию:

\(D_В=\frac1{50}({(1-2)}^2\cdot20+{(2-2)}^2\cdot15+{(3-2)}^2\cdot10+{(4-2)}^2\cdot5)=1\)

Исправленная дисперсия

Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:

\(M\left[D_B\right]=\frac{n-1}nD_Г\)

В данной формуле D_Г – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:

\(\frac n{n-1}\)

Получим формулу следующего вида:

\(S^2=\frac n{n-1}\cdot D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}{n-1}\)

Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S². 

Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

\(S=\sqrt{S^2}\)

При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.

Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию

Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.

Пример

Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.

Решение

Сначала вычислим выборочную среднюю:

\({\overline x}_В=\frac{92+94+103+105+106}5=100\)

Затем найдем выборочную дисперсию:

\(D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n=\frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34\)

Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

\(S^2=\frac5{5-1}\cdot34=42,5\)