Основные логические операции

Логические операции в создании компьютерных программ — действия, которые производятся над входными данными. Такие функции производятся над сигналами булевского типа, то есть над примитивными выражениями, имеющими только два возможных значения: истина или ложь.

Виды операций

В программировании выделяют следующие виды функций:

  1. Логическое умножение или конъюнкция.
  2. Логическое сложение или дизъюнкция.
  3. Логическое отрицание или инверсия.
  4. Логическое следование или импликация.
  5. Логическая равнозначность или эквивалентность.
  6. Стрелка Пирса.
  7. Штрих Шеффера.

Логическое умножение (конъюнкция)

Конъюнкция — это действие, в результате которого каждым двум входным данным соответствует одно новое высказывание. Истинное значение на выходе получается, когда оба входных значения истинны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для обозначения логического умножения используют союз «и», значки\( \wedge\), \(\&.\)

Таблица истинности для логического умножения выглядит так:

Таблица истинности логического умножения
 

A, B — исходные данные;

A и B — значение, приобретаемое в результате реализации конъюнкции.

Из таблицы следуют свойства логического умножения:

  • при ложном значении одной входной информации из двух конъюнкция будет ложной;
  • при истинном значении переменных конъюнкция будет истинной;
  • результат логического умножения не зависит от порядка записи ее переменных.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Дизъюнкция — это булева функция, в итоге которой выходные данные будут ложными только при ложности всех исходных выражений.

Обозначается дизъюнкция союзом «или», символами +,\( \vee\).

Таблица истинности логического сложения:

Таблица истинности логического сложения
 

A, B — входная информация;

A или B — значение, приобретаемое в результате выполнения дизъюнкции.

Для дизъюнкции справедливы следующие утверждения:

  • при истинности хотя бы одного подвыражения дизъюнкция будет истинной;
  • при ложности всех высказываний дизъюнкция примет ложное значение;
  • итог дизъюнкции не зависит от перемены мест слагаемых.

Логическое отрицание (инверсия)

Инверсия — выражение, ставящее в соответствие одному значению противоположное.

Условное обозначение логического отрицания: с помощью частицы «не», символов ¯, \(\neg.\)

Таблица истинности инверсии:

Таблица истинности инверсии
 

A — исходные данные;

не A — значение, приобретаемое в результате логического отрицания.

Логическое следование (импликация)

Импликация — это булева операция, ложная лишь тогда, когда первая исходная переменная является истиной, а вторая — ложью.

Следование записывается с помощью знака \(\rightarrow.\)

Таблица истинности для импликации:

Таблица истинности для импликации
 

A — входная информация, означающая условие;

B — входная информация, означающая следствие;

A → B — значение, приобретаемое в результате импликации.

По своему употреблению данная связка схожа со значением союзов «если..., то...».

Логическая равнозначность (эквивалентность)

Эквивалентность — выражение, являющееся истинным лишь в случае равенства двух входных элементов.

При записи равнозначности используют стрелки \(\Leftrightarrow\), \(\leftrightarrow\), \(\Xi\).

Таблица истинности для равнозначности:

Таблица истинности для равнозначности
 

Стрелка Пирса

Стрелка Пирса — двухместное логическое действие со следующей последовательностью: сначала над исходными показаниями производится дизъюнкция, затем происходит отрицание полученного результата.

Данная манипуляция является отрицание логического сложения. Свое название рассматриваемая функция получила от своего автора — американского ученого Чарльза Пирса.

Запись стрелки Пирса осуществляется через знак \(\downarrow\).

Таблица истинности для этой операции следующая:

Стрелка Пирса
 

Особенность стрелки Пирса заключается в ее возможности строить другие булевы функции.

Пример

\((A\;\downarrow\;A)\;\downarrow\;(B\;\downarrow\;B)\;=\;A\;\wedge\;B\) — конъюнкция;

\((A\;\downarrow\;B)\;\downarrow\;(A\;\downarrow\;B)\;=\;A\;\vee\;B\) — дизъюнкция;

\(A\;\downarrow\;A\;=\;\neg\;A\;\) — инверсия;

\(((A\;\downarrow\;A)\;\downarrow\;B)\;\downarrow\;((A\;\downarrow\;A)\;\downarrow\;B)\;=\;A\;\rightarrow\;B\) — импликация.

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера — это действие, приводящее к ложному итогу лишь при истинности обоих исходных данных. По порядку выполнения операций эта функция эквивалентна отрицанию конъюнкции.

Символ Шеффера назван по фамилии своего создателя — американского логика Генри Шеффера — и обозначается посредством знака \(\vert.\)

Таблица истинности для данной функции:

Штрих Шеффера
 

С помощью штриха Шеффера можно воспроизвести другие логические манипуляции.

Пример

\((A\;\vert\;B)\;\vert\;(A\;\vert\;B)\;=\;A\;\wedge\;B\) — конъюнкция;

\((A\;\vert\;A)\;\vert\;(B\;\vert\;B)\;=\;A\;\vee\;B \) — дизъюнкция;

\(A\;\vert\;A\;=\;\neg\;A \) — инверсия.

Порядок выполнения операций

В составном логическом выражении действия выполняются в такой последовательности:

  • инверсия;
  • конъюнкция;
  • дизъюнкция;
  • импликация;
  • эквивалентность.

Для построения нужного порядка, как и в математических выражениях, используют скобки.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.86 (Голосов: 7)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»