Как перевести числа из одной системы счисления в другую

Порядковый счет в разных системах

Десятичная

Сама запись чисел связана с определенной числовой базой. Видя число 105, мы понимаем, что цифра 1 задает число сотен, 0 — число десятков, 5 — единиц. Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: \(10 = 10^1\), \(100 = 10^2\), \(1000 = 10^3\).

В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.

Родина десятичной системы счисления — Индия. Примерно в середине 8 века систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к 16 веку и была названа «арабской».

Двоичная

Система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной. Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.

Так как самая распространенная система счисления — десятичная, ее основание обычно не указывают. Поэтому пример может выглядеть и так:

\(12\;=\;{(1100)}_2.\)

Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие, на этом были построены примитивные сигнальные системы, прообразы азбуки Морзе.

Пятеричная

Связана с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от 6 до 9, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры 5. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Представим число N в виде выражения, не содержащего степеней:

\(N\;=\;а_{0\;}+\;d\times(a_1\;+\;d\times(a_2\;+\;d\times(...\;+\;d\times(a_{n-1}\;+\;d\times a_n)...)))\)

Очевидно, что цифры \(а_{0\;},\;a_1,\;a_2,\;...,\;\;a_n\;\) можно найти последовательно, начиная с младшего разряда, совершив следующие шаги:

• \(а_{0\;}\) равно остатку от деления N на d;

• \(а_{1\;}\) равно остатку от деления на d неполного частного, полученного на предыдущем шаге;

• …;

• \(а_{n\;}\) равно остатку от деления на d неполного частного, полученного на предыдущем шаге. 

Число N в d-ичной системе будет выглядеть так:

\(N = {(а_na_{n-1}\;...\;a_1a_0)}_d\)

Для записи чисел в системе с основанием d нужно d цифр. Если d меньше или равно 10, то в качестве алфавита используются арабские цифры, если больше — к ним добавляют 26 латинских букв.

Практический перевод чисел

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую удобнее всего производить методом деления на основание новой системы счисления.

Перевод из любой системы в десятичную

Формулировка

Если все слагаемые недесятичного числа записать в развернутой форме в десятичной системе и сложить по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному недесятичному.

Анализ записи в любой системе

Основа перевода чисел в десятичную систему — разложение их по разрядам. Записав число в виде многочлена, расположенного по степеням основания, и найдя значение этого выражения, можно перевести в десятичную систему число из любой системы.

Примеры перевода чисел в разных системах счисления

Задача 1

Перевести шестнадцатеричное число \(AF_{16}\) в десятичную систему.

Решение

Чтобы получить десятичное представление числа, нужно записать обе его цифры в развернутой форме.

\(AF_{16}\;=\;A\times16^{1\;}\;+\;\;F\times16^0\;=\;10\times16\;+\;15\;=\;175\)

Задача 2

Перевести число 176 из десятичной системы в троичную, пятеричную и четырнадцатеричную.

Решение

Перевод в троичную систему:

176 : 3 = 58 (2)

58 : 3 = 19 (1)

19 : 3 = 6 (1)

6 : 3 = 2 (0)

\({(176)}_{10}\;=\;{(20112)}_3\)

Перевод в пятеричную систему:

176 : 5 = 35 (1)

35 : 5 = 7 (0)

7 : 5 = 1 (2)

\({(176)}_{10}\;=\;{(1201)}_5\)

Перевод в четырнадцатеричную систему:

176 : 14 = 12 = С (8)

\({(176)}_{10}\;=\;{(С8)}_{14}\)