Знакопеременные ряды: описание и свойства, сходимость

Что такое знакопеременные ряды

По-другому такой ряд называют знакочередующимся. Однако между ними есть отличие. Знакопеременный ряд имеет неопределенное количество положительных и отрицательных членов. Знакочередующийся ряд ограничен.

Свойства знакопеременных рядов

К свойствам ЗР следует отнести:

• ряды \(\sum_{n=0}^\infty{(-1)}^na_n,\;\sum_{n=0}^\infty{(-1)}^{n-1}a_n\);
• числовая последовательность \(\{a_n\}\);
• число членов ряда \(n\);
• сумма ряда \(S\);
• частичная сумма ряда \(S_n\).

Виды сходимости рядов

Среди видов сходимости рядов различают абсолютную и условную сходимость. Однако для начала нужно рассмотреть признак сходимости немецкого ученого, Готфрида Вильгельма Лейбница. 

Пусть знакочередующийся ряд \(\overset{}{\underset{}{\sum{(-1)}^{n+1}}}\times u^n\) удовлетворяет следующим условиям:

1. Его члены убывают по величине \(u_1>u_2>\dots>u_n>\dots\).
2. \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim\;}u_n=0\).

Тогда \(\overset{}{\underset{}{\sum{(-1)}^{n+1}}}\times u^n\) сходится. При этом его сумма не больше первого члена, и она является положительной.

Приведем доказательство теоремы Лейбница. 

Частичную сумму чётного порядка можно записать следующим образом:

\( S_{2n}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\dots+(u_{2n-1}-u_{2n})\)

Так как \(u_1>u_2>\dots>u_{2n-1}>u_{2n}\), то все разности в скобках положительные.

Это значит, что \(S_{2n}\) увеличивается с возрастанием \(S_{2n}>0\) при любом \(n\).

Однако если переписать это выражение до вида \(S_{2n}=u_1-\lbrack(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+\dots+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}\rbrack\), то все, что находится в квадратных скобках положительно.

Поэтому \(S_{2n}<u_1\) для любого \(n\). Получается, что последовательность частичных сумм \(S_{2n}\) ограничена и возрастает. Поэтому есть конечный \(\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}=S\). При этом \(0<S_{2n}\leq u_1\).

Перейдем к частичной сумме неполного порядка:

\(S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}\)

В последнем равенстве предел равен \(n\rightarrow\infty\):

\(\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}+\lim_{n\rightarrow\infty}u_{2n+1}=S+0=S\)

Получаем, что частичные суммы четного и нечетного порядка имеют одинаковый предел S. Поэтому \(\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S\). Что и требовалось доказать.

Замечания к теореме:

1. Ряд \(\overset{}{\underset{}{\sum{(-1)}^{n+1}}}\times u^n\) будет сходиться и в случае, когда первое условие теоремы соблюдается. Но тогда утверждение о сумме не имеет места.
2. Погрешность, которая получается при замене суммы ряда его частичной суммой, не больше модуля первого отбрасываемого члена: \(\left|R_n\right|=\left|S-S_n\right|<u_{n-1}\).
3. Если ряд \(\overset{}{\underset{}{\sum{(-1)}^{n+1}}}\times u^n\) удовлетворяет второму условию, но не удовлетворяет первому, то о сходимости ничего нельзя сказать.
4. Если ряд \(\overset{}{\underset{}{\sum{(-1)}^{n+1}}}\times u^n\) не удовлетворяет второму условию теоремы, то он расходится.

Абсолютная сходимость ряда

Признаки АСР:

1. Если \(\overset{}{\underset{}{\sum u_n}}\) и \(\overset{}{\underset{}{\sum v_n}}\) сходятся абсолютно, то \(\overset{}{\underset{}{\sum\left(au_n\pm bv_n\right)}}\) тоже сходится абсолютно.
2. Если \(\overset{}{\underset{}{\sum u_n}}\) сходится абсолютно, то ряд, полученный из него вследствие перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.

Условная сходимость ряда

Признаки УСР:

1. Если \(\overset{}{\underset{}{\sum u_n}}\) сходится абсолютно, а \(\overset{}{\underset{}{\sum v_n}}\) условно, то \(\overset{}{\underset{}{\sum\left(au_n+bv_n\right)}}\) сходится условно.
2. Если \(\overset{}{\underset{}{\sum u_n}}\) сходится условно, то можно переставить члены ряда таким образом, что сумма будет равна любому заранее заданному числу. Кроме того, можно переставить члены так, что получившийся ряд будет расходиться.

Примеры сходимости

Задача №1

Исследовать на сходимость ряд \( \sum_{n=1}^\infty{(-1)}^n\frac{2n+1}{3n+2}\).

Решение

Применяем теорему Лейбница: 

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_n\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{2n+1}n}{\displaystyle\frac{3n+2}n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2+{\displaystyle\frac1n}}{3+{\displaystyle\frac2n}}=\frac23\neq0\)

Модуль общего члена не стремится к нулю при \(n\rightarrow\infty\).

Соответственно, ряд расходится.

Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty{(-1)}^n\frac{2n+1}{3n+2}\) расходится.

Задача №2

Исследовать на сходимость ряд \(\sum_{n=1}^\infty{(-1)}^n\frac{\sin^2n}n\).

Решение

Применяем признак Лейбница.

Получаем:

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_n\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\left(-1\right)^n\frac{\sin^2n}n\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^2n}n=0\)

Так как \(\sin^2n\leq1\), то ряд расходится.

Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty{(-1)}^n\frac{\sin^2n}n\) расходится.

Задача №3

Исследовать на сходимость ряд \(\frac2{3!}-\frac{2^2}{5!}+\frac{2^3}{7!}-\frac{2^4}{9!}+... \)

Решение

Общий член равен \(a_n={(-1)}^{n+1}\frac{2^n}{\left(2n+1\right)!}\).

Применим признак Даламбера к \(\sum_{n=1}^\infty\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{\left(2n+1\right)!}\).

Это выражение составлено из модулей \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle\frac{2^{n+1}}{\left(2n+3\right)!}}{\displaystyle\frac{2^n}{\left(2n+1\right)!}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}\left(2n+1\right)!}{2^n\left(2n+3\right)!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}=0\).

Соответственно, ряд сходится.

Ответ: ряд \(\frac2{3!}-\frac{2^2}{5!}+\frac{2^3}{7!}-\frac{2^4}{9!}+...\) сходится.