Как вычислить арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия — основные понятия

В этом ряду каждое последующее число есть результат добавления к предыдущему одного и того же числа d. В случае, если \(d\;>\;0,\) последовательность называется возрастающей, а если \(d\;<\;0\) — убывающей. В ситуации, если d = 0 последовательность стационарна.

Наиболее простым примером арифметической прогрессии будет являться бесконечная последовательность натуральных чисел.

Число d является разностью арифметической прогрессии или шагом, а числа последовательности — членами прогрессии.

Теорема

Последовательность \({a_n}\) будет являться арифметической прогрессией исключительно в тех случаях, когда любой ее член, начиная со второго, будет равняться полусумме последующего и предыдущего членов:

\(a_n\;=\;\frac{a_{n-1}\;+\;a_{n+1}}2\)

Доказательство

Если говорить об арифметической прогрессии, то для всех n = 2, 3... справедливо:

\(d\;=\;a_n\;-\;a_{n-1}\;=\;a_{n+1}-a_n\)

Тогда:

\(2a_n\;=a_{n-1}+a_{n+1}\)

Откуда получается:

\(a_n\;=\;\frac{a_{n-1}\;+a_{n+1}}2\)

Вычисление каждого следующего члена арифметической прогрессии возможно с использованием следующей формулы:

\(a_n\;=\;a_{n-1}\;+\;d\)

Формула общего члена для расчета любого из членов прогрессии выглядит следующим образом:

\(a_n\;=\;a_1\;+\;(n-1)d\)

Общий вид арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, которая имеет следующий вид:

\(a_1,\;a_1\;+\;d,\;a_1\;+2d...\;a_1\;+\;(n\;-\;1)d,\;...\;\)

Каждую арифметическую прогрессию можно задать формулой вида:

\(a_n\;=\;kn\;+\;b\)

Свойства и формулы арифметической прогрессии

Разность арифметической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

\(a_{n+1}\;-\;a_n\;=\;d\)

Существует несколько формул для нахождения членов арифметической прогрессии с номером n:

\(a_n\;=\;a_1\;+\;(n\;-\;1)d\)

\(a_n\;=\;a_m\;-\;(m\;-\;n)d\)

В обоих случаях \(a_1\) будет обозначать первый член прогрессии, d здесь будет являться разностью прогрессии, а a_m обозначает член арифметической прогрессии с номером m.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии выражается следующим образом: последовательность \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), которая интерпретируется как арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для всех элементов указанной прогрессии справедливо условие:

\(a_n\;=\;\frac{a_{n-1\;}+\;a_{n+1}}2,\;n\;\geq\;2\)

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется с использованием следующих формул:

\(S_n\;=\;\frac{a_{1\;}+\;a_n}2\;\cdot\;n\)

В данной формуле \(a_1\) является обозначением первого члена прогрессии, \(a_n\) — обозначением члена прогрессии с номером n, а n — обозначением суммируемых членов прогрессии.

\(S_n\;=\;\frac{2a_{1\;}+\;d(n-1)}2\;\cdot\;n\)

Дополнительно к предыдущим обозначениям в этой формуле d — это шаг прогрессии, а n — число суммируемых членов прогрессии.

Вывод этой формулы выглядит следующим образом:

\(S_n\;=\;a_1\;+\;a_2\;+\;a_3\;+\;...\;+\;a_{n-2}\;+\;a_{n-1}\;+\;a_n\)

\(S_n\;=\;a_n\;+a_{n-1}\;+\;a_{n-2}\;+\;...\;a_3\;+\;a_2\;+\;a_1\)

\(2S_n\;=\;(a_{1\;}+\;a_n)\;+\;(a_2\;+\;a_{n-1})\;+\;(a_3\;+\;a_{n-2})\;+\;...\;+\;(a_{n-1}\;+\;a_2)\;+\;(a_n\;+\;a_1)\)

Предоставим объяснение того, что выражения, заключенные в скобки, равны как между собой, так и выражению \(a_1 + a_n\):

\(a_2\;+\;a_{n-1}\;=\;(a_1+d)\;+\;(a_n-d)\;=\;a_1+a_n\)

\(a_3\;+\;a_{n-2}\;+\;(a_2\;+d)\;+\;(a_{n-1}\;-\;d)\;=\;a_2\;+\;a_{n-1}\;=\;a_1+a_n\)

Тогда мы можем записать:

\(2S_n\;=(a_1\;+\;a_n)\;\cdot n\)

Из этого выводится формула, дающая в результате сумму первых n членов арифметической прогрессии:

\(S_n\;=\frac{(a_1\;+\;a_n)}2\cdot n\)

Еще одно свойство арифметической прогрессии — сходность. Арифметическая прогрессия будет являться расходящейся при \(d\;\neq0\) и сходящейся при d = 0.

\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\;=\;\left\{\begin{array}{c}+\infty,\;d>0\\-\infty,\;d<0\\a_1,\;d=0\end{array}\right.\)

Существует также связь между геометрической и арифметической прогрессиями. Если в арифметической прогрессии \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ... число a > 0, то последовательность вида \(a^{a_1},\;a^{a_2},\;a^{a_3},\;...\) будет геометрической прогрессией со значением \(a^d.\)

Арифметическая прогрессия второго порядка

Примером такой прогрессии является последовательность квадратов натуральных чисел: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36… , потому что их разности будут составлять простую арифметическую прогрессию с шагом в 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11…

Сумма квадратов арифметической прогрессии

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n\;+1)}6\)

Это равенство справедливо для любого \(n\in N\).