Как вычислить арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия — основные понятия

Определение

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность, которая состоит из ряда чисел.

В этом ряду каждое последующее число есть результат добавления к предыдущему одного и того же числа d. В случае, если d>0, последовательность называется возрастающей, а если d<0убывающей. В ситуации, если d = 0 последовательность стационарна.

Наиболее простым примером арифметической прогрессии будет являться бесконечная последовательность натуральных чисел.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Число d является разностью арифметической прогрессии или шагом, а числа последовательности — членами прогрессии.

Теорема

Последовательность an будет являться арифметической прогрессией исключительно в тех случаях, когда любой ее член, начиная со второго, будет равняться полусумме последующего и предыдущего членов:

an=an1+an+12

Доказательство

Если говорить об арифметической прогрессии, то для всех n = 2, 3... справедливо:

d=anan1=an+1an

Тогда:

2an=an1+an+1

Откуда получается:

an=an1+an+12

Вычисление каждого следующего члена арифметической прогрессии возможно с использованием следующей формулы:

an=an1+d

Формула общего члена для расчета любого из членов прогрессии выглядит следующим образом:

an=a1+(n1)d

Общий вид арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, которая имеет следующий вид:

a1,a1+d,a1+2d...a1+(n1)d,...

Каждую арифметическую прогрессию можно задать формулой вида:

an=kn+b

Свойства и формулы арифметической прогрессии

Разность арифметической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

an+1an=d

Существует несколько формул для нахождения членов арифметической прогрессии с номером n:

an=a1+(n1)d

an=am(mn)d

В обоих случаях a1 будет обозначать первый член прогрессии, d здесь будет являться разностью прогрессии, а a_m обозначает член арифметической прогрессии с номером m.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии выражается следующим образом: последовательность a1, a2, a3, которая интерпретируется как арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для всех элементов указанной прогрессии справедливо условие:

an=an1+an+12,n2

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется с использованием следующих формул:

Sn=a1+an2n

В данной формуле a1 является обозначением первого члена прогрессии, an — обозначением члена прогрессии с номером n, а n — обозначением суммируемых членов прогрессии.

Sn=2a1+d(n1)2n

Дополнительно к предыдущим обозначениям в этой формуле d — это шаг прогрессии, а n — число суммируемых членов прогрессии.

Вывод этой формулы выглядит следующим образом:

Sn=a1+a2+a3+...+an2+an1+an

Sn=an+an1+an2+...a3+a2+a1

2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2)+...+(an1+a2)+(an+a1)

Предоставим объяснение того, что выражения, заключенные в скобки, равны как между собой, так и выражению a1+an:

a2+an1=(a1+d)+(and)=a1+an

a3+an2+(a2+d)+(an1d)=a2+an1=a1+an

Тогда мы можем записать:

2Sn=(a1+an)n

Из этого выводится формула, дающая в результате сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2n

Еще одно свойство арифметической прогрессии — сходность. Арифметическая прогрессия будет являться расходящейся при d0 и сходящейся при d = 0.

limnan={+,d>0,d<0a1,d=0

Существует также связь между геометрической и арифметической прогрессиями. Если в арифметической прогрессии a1, a2, a3, ... число a > 0, то последовательность вида aa1,aa2,aa3,... будет геометрической прогрессией со значением ad.

Арифметическая прогрессия второго порядка

Определение

Последовательность чисел, при которой последовательность разностей образует арифметическую прогрессию, будет называться арифметической прогрессией второго порядка.

Примером такой прогрессии является последовательность квадратов натуральных чисел: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36… , потому что их разности будут составлять простую арифметическую прогрессию с шагом в 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11…

Сумма квадратов арифметической прогрессии

12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6

Это равенство справедливо для любого nN.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.60 (Голосов: 5)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»