Арифметический корень натуральной степени

Что такое арифметический корень натуральной степени 

Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a \ge 0\) называется неотрицательное число, \(n-я\) степень которого равна \(a\).

Поиск корня n-й степени в арифметике называют извлечением корня n-й степени.

Данная операция представляет собой обратное действие возведению в \( n-ю \) степень. В качестве доказательства можно привести следующие примеры:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(\sqrt[3]{27} = 3\), так как \(3^3 = 27\)

\(\sqrt[4]{625} = 5\), так как \( 5^4 = 625\)

Основные свойства 

Если степень n нечетная, то корнем нечетной степени \(n\) из отрицательного числа \(a \lt 0 \)называют такое отрицательное число, \(n-я\) степень которого равна \(a\).

Объяснение данного понятия можно рассмотреть с помощью примеров:

\(\sqrt[3]{-27} = -3,\) так как \((-3)^3 = -27\)

\(\sqrt[5]{-32} = -2\), так как \( (-2)^5 = -32\)

В зависимости от числа а определяется количество решений. В качестве самостоятельного примера можно рассмотреть следующие уравнения:

  \(x^2 = 16 \iff x^2-16 = 0 \iff (x+4)(x-4) = 0 \iff x_1 = -4 \\ x_2 = 4\)

\(x^2 = -9 \lt 0 \iff x \in \varnothing\), решения отсутствуют

\(x^4 = 81 \iff x^4-81 = 0 \iff (x^2+9)(x^2-9) = 0 \iff (x^2+9)(x+3)(x-3) = 0 \iff x_1 = -3 \\ x_2 = 3\)

\(x^3 = 27 \iff x^3-27 = 0 \iff (x-3)(x^2+3x+9) = 0 \iff x = 3\)

\(x^3 = -27 \iff x^3+27 = 0 \iff (x+3)(x^2-3x+9) = 0 \iff x = -3\)

Исходя из рассмотренных примеров, можно сделать следующие выводы:

  1. В том случае, когда \( n\) является четным числом, и \(a \ge 0\), уравнение имеет два решения: \(x = \pm \sqrt[n]{a}\).
  2. Когда \(n\) представляет собой четное число, и \(x = \pm \sqrt[n]{a}\), уравнение решений не имеет.
  3. Если \(n \)является нечетным числом, то уравнение  \(x^n = a \) обладает единственным решением  \(x = \pm \sqrt[n]{a}\) при любом  \(x^n = a.\)

Свойства, которые характерны для арифметических корней натуральной степени:

  • \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0, n \in \Bbb N\);
  • \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad a \ge 0, b \gt 0, n \in \Bbb N\);
  • \(\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N\);
  • \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N, p \in \Bbb N\);
  • \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N\);
  • \(\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N\).

Как решать задачи, формулы

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a представляет собой число, которое становится равным a в том случае, если его возвести во вторую степень (в квадрат).

В качестве примера можно привести несколько выражений:

  • \(8^{2} = 8 * 8 = 64\), число 8 является корнем второй степени из 64;
  • \(0,6^{2} = 0,6 * 0,6 = 0,36\), число 0,6 является корнем второй степени из 0,36;
  • \(1^{2} = 1 * 1 = 1\), число 1 представляет собой корень второй степени из числа 1.

Следует отметить, что существуют числа, для которых не представляется возможным определить равный этому числу квадрат, являющийся действительным числом. То есть не для всех чисел возможно найти действительное число, квадрат которого был бы равен данному числу.

Для любого числа a, \(a=b^{2}\), если а представляет собой отрицательный показатель, не является верным, так как не может иметь отрицательное значение при любом показателе. Таким образом, для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа. Исходя из того, что \(0^{2} = 0*0 = 0\), то нуль и есть квадратный корень числа «нуль».

Арифметический корень второй степени числа \(a(a\geq0)\) представляет собой неотрицательное число, которое становится равным a при возведении его в квадрат.

Арифметический корень второй степени из числа a обозначается таким образом:

\(\sqrt{a}\)

Можно встретить следующее обозначение арифметического корня второй степени из числа а:\( \sqrt[2]{a}\). Однако, цифру 2 (показатель корня) не нужно прописывать. Знак арифметического корня также называют радикалом. Данные понятия являются синонимами, то есть обладают абсолютно одинаковым значением и употребляются в обоих вариантах. Число, которое стоит под знаком корня, является подкоренным числом. В том случае, когда под знаком корня заключено целое выражение, его называют подкоренным выражением.

Исходя из понятия арифметического корня, можно вывести следующую формулу для любого \(a\geq0\):

\((\sqrt{a})^{2}=a\)

\(\sqrt{a}\geq0\)

Арифметический корень третьей степени (кубический корень) является неотрицательным числом, которое при условии возведении его в куб, станет равным \(а\). Обозначается, как \(\sqrt[3]{a}\).

Число 3 в рассматриваемом случае является показателем корня. Число или выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным выражением.

В качестве примера можно рассмотреть следующие выражения:

  • \(\sqrt[3]{3,5}\) является арифметическим корнем 3-й степени из 3,5 или кубическим корнем из 3,5;
  • \(\sqrt[3]{x+5}\) является арифметическим корнем 3-й степени из \(х+5\) или кубическим корнем из  \( х+5.\)

 

Арифметический корень \(n-ной \) степени из числа \(a\geq0\) представляет собой неотрицательное число, которое, при условии возведения в степень, становится равным числу \(a\) и обозначается: \(\sqrt[n]{a}\), где a является подкоренным числом или выражением, а \(n\) представляет собой показатель корня.

Запись арифметического корня имеет следующий вид:

\((\sqrt[n]{a})^{n}=a\)

В качестве примеров можно привести следующие выражения:

  • \(\sqrt[9]{1,2}\) представляет собой арифметический корень седьмой степени из числа 1,2, где 1,2 представляет собой подкоренное число, а 9 является показателем корня;
  • \\(sqrt[6]{y^{2}+6}\) представляет собой арифметический корень шестой степени из числа \(y^{2}+6\), где \(y^{2}+6\) представляет собой подкоренное выражение, а 6 является показателем корня.

По определению арифметического корня \(n-ной\) степени, подкоренным выражением должно являться неотрицательное число или выражение. В том случае, когда в равенстве \((\sqrt[n]{a})^{n}=a\) обе части умножают на -1, в результате получаются две равносильные части равенства: \(-(\sqrt[n]{a})^{n}=-a\). Таким образом, для нечетных показателей арифметического корня можно записать следующее равенство:\( \.sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\)

Примеры решения

Задача 1

Задача

Требуется упростить выражения:

\(\sqrt[3]{64b^6 z^9}\)

\(\sqrt[4]{3a^2 b} \cdot \sqrt[4]{27a^6 b^3}\)

\(\sqrt[5]{32x^6 y} : \sqrt[5]{xy^{11}}\)

\((\sqrt{\sqrt[3]{7a^2 b^5}})^6\)

Решение:

\(\sqrt[3]{64b^6 z^9} = \sqrt[3]{(4b^2 z^3)^3} = 4b^2 z^3\)

\(\sqrt[4]{3a^2 b} \cdot \sqrt[4]{27a^6 b^3} = \sqrt[4]{3a^2 b \cdot 27a^6 b^3} = \sqrt[4]{81a^8 b^4} = \sqrt[4]{(3a^2 b)^4} = 3a^2 b\)

\(\sqrt[5]{32x^6 y} : \sqrt[5]{xy^{11}} = \sqrt[5]{\frac{32x^6 y}{xy^11}} = \sqrt[5]{(\frac{32x^5}{y^{10}})} = \sqrt[5]{(\frac{2x}{y^2})^5} = \frac{2x}{y^2}\)

\( (\sqrt{\sqrt[3]{7a^2 b^5}})^6 = (\sqrt[2 \cdot 3]{7a^2 b^5})^6 = 7a^2 b^5\)

Ответ:

\(4b^2 z^3\)

\(3a^2 b\)

\(\frac{2x}{y^2}\)

\(7a^2 b^5\)

Задача 2

Задача

Необходимо решить уравнения:

\(\sqrt[3]{1 \frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{2 \frac{7}{9}}\)

\(\sqrt[5]{64} : \sqrt[5]{2} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt[3]{\sqrt{64}}\)

\(\sqrt[3]{13- \sqrt{44}} \cdot \sqrt[3]{13 + \sqrt{44}}\)

\((\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{25})\)

Решение:

\(\sqrt[3]{1 \frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{2 \frac{7}{9}} = \sqrt[3]{\frac{5}{3} \cdot \frac{25}{9}} = \sqrt[3]{( \frac{5}{3} )^3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}\)

\(\sqrt[5]{64} : \sqrt[5]{2} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[5]{\frac{64}{2}} + \sqrt[6]{(3^3 )^2} - \sqrt[{3 \cdot 2}]{64} = \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[6]{3^6} - \sqrt[6]{2^6} = 2+ 3 – 2 = 3\)

\(\sqrt[3]{13- \sqrt{44}} \cdot \sqrt[3]{13 + \sqrt{44}} = \sqrt[3]{(13- \sqrt{44})(13+ \sqrt{44})} = \sqrt[3]{13^2-44} = \sqrt[3]{125} = 5\)

\((\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{25}) = (\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{5})((\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 ) = 7-5 = 2\)

Ответ: \(1 \frac{2}{3}; 3; 5; 2\)

Задача 3

Задача

Нужно сравнить числа:

\(\sqrt[3]{14} и \sqrt[3]{17}\)

\(\sqrt[3]{-14} и \sqrt[3]{-17}\)

\(\sqrt[3]{-14} и \sqrt{5}\)

\(\sqrt[3]{29} и \sqrt[4]{78}\)

Решение:

\(14 \lt 17 \Rightarrow \sqrt[3]{14} \lt \sqrt[3]{17}\)

\(-14 \gt -17 \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \gt \sqrt[3]{-17}\)

\(\sqrt[3]{-14} \lt 0 \lt \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt[3]{-14} \lt \sqrt{5}\)

\(\sqrt[3]{29} \gt \sqrt[3]{27} = 3, \sqrt[4]{78} \lt \sqrt[4]{81} = 3\)

\(\sqrt[4]{78} \lt 3 \lt \sqrt[3]{29} \Rightarrow \sqrt[3]{29} \gt \sqrt[4]{78}\)

Ответ:

\(\sqrt[3]{14} \lt \sqrt[3]{17}\)

\(\sqrt[3]{-14} \gt \sqrt[3]{-17}\)

\(\sqrt[3]{-14} \lt \sqrt{5}\)

\(\sqrt[3]{29} \gt \sqrt[4]{78}\)

Задача 4

Задача

Необходимо найти область определения функции:

\(y = - \sqrt[4]{\frac{x+3}{x-1}}\)

Решение:

Выражение под четным корнем должно иметь неотрицательное значение

\(\frac{x+3}{x-1} \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x-1 \gt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \le 0 \\ x -1 \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x ≥ -3 \\ x \gt 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \le -3 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x \gt 1 \\ x \le -3 \end{array} \right. \Rightarrow x \le -3 \cup x \gt 1\)

Область определения:

\(x \in (-\infty;-3] \cup (1;+\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty;-3] \cup (1;+\infty)\)

Задача 5

Задача

Требуется найти область определения функции:

\(y = \frac{2}{x+3} - \sqrt[5]{\frac{x}{x-8}}\)

Решение: Выражение под нечетным корнем может обладать любым знаком. Наличие ограничений для области определения объясняется лишь невозможностью делить на 0:

\({\left\{ \begin{array}{c} x+3 \neq 0 \\ x-8 \neq 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x \neq -3 \\ x \neq 8 \end{array} \right.}\)

Область определения: \(x \in (-\infty;-3) \cup (-3;8) \cup (8;+\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty;-3) \cup (-3;8) \cup (8;+\infty)\)

Задача 6

Задача

Необходимо решить уравнения:

\(x^5=32 x^6 = 64 x^3 = -27 x^4 = -81\)

Решение:

\(x^5=32 x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 x^6 = 64 x = \pm \sqrt[6]{64} = \pm \sqrt[6]{2^6} = \pm 2 x^3 = -27 x = \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 x^4 = -81 x \in \varnothing,\) уравнение не имеет решений

Ответ:\( 2; \pm 2; -3;\) решения отсутствуют.

Задача 7

Нужно решить уравнение:

\(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\)

Решение:

Предположим, что:

\(A = \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\)

Тогда:

\(A^3 = \Biggl( \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^3=\Biggl( \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggr)^3+3 \Biggl(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggr)^2 \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} +3 \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \Biggl( \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^2+ \Biggl( \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \Biggr)^3=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})} \Biggl( \underbrace{\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} +\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}}_{= A} \Biggr) =18+3 \underbrace{\sqrt[3]{9^2-80}}_{= 1} \cdot A = 18+3A = 3(A+6 \)

В результате вычислений получено уравнение:

\(A^3 = 3(A+6)\)

Данное равенство можно преобразовать:

\(\frac{A^3}{3} = A+6\)

Затем следует решить графически полученное уравнение:

График
 

\(A = 3 \)- искомое значение выражения

Ответ: 3

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»