Решение дробных выражений

Что такое дробные выражения

В процессе решения заданий и примеров по алгебре, физике, геометрии и другим наукам, предполагающим какие-либо расчеты с математическими величинами, нередко можно встретить дробные числа. С целыми числовыми значениями выполнять разнообразные действия достаточно просто. При вычитании, умножении, делении, сложении дробей возникают определенные сложности.

По этой причине целесообразно рассмотреть такое понятие как дробные выражения, а также приемы, позволяющие быстро упростить запись или решить задачу с ними. Начать стоит с определения дробного числа. В качестве примера допустимо рассмотреть следующую дробь:

\(\frac{7}{12}\)

Заметим, что выше записана операция деления, то есть число 7 поделили на число 12 и зафиксировали выражение с применением дробной черты. Получим, что:

\(\frac{7}{12} = 7 \div 12\)

Приведем несколько характерных примеров представления дробных выражений:

\(\frac{2+\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}\)

\(\frac{2х-4}{5уа^{3}+18}\)

\(\frac{4\frac{8}{19}-а}{1+\frac{b}{2+а}}\)

Чем отличаются от целых

Исходя из понятия дробных выражений, к данной категории следует причислять такие записи, не равные нулю, в составе которых присутствуют не только стандартные операции суммирования, вычитания, произведения, поиска частного, но и деление на выражение, содержащее переменные. Наглядно такие выражения можно представить следующим образом:

\(3х - \frac{3у}{2у+х}\)

\(\frac{2}{х}\)

\(\frac{2}{х^{2}-1}\)

\(7х \div 5у\)

\(х^{2} +\frac{у}{6}+\frac{2}{ х^{2} - у^{2} }\)

В свою очередь, целые выражения представляют собой записи, составленные из числовых значений и переменных с применением операций суммирования, разности, произведения, деления на какое-либо число, не равное нулю. В этом состоит разница между понятиями целых и дробных выражений. В качестве примеров для сопоставления можно привести записи с числами и неизвестными:

\(3х^{2}\)

\(х^{2}+ у^{2}\)

\((х^{2} – у)( х^{2} + у)\)

\(х^{2}у + ху^{2}\)

\(х\div 9\)

\(\frac{15х-3}{2}\)

Упрощение дробных выражений

Дробные выражения, независимо от формата записи, обладают эквивалентными выражениями. Таковыми считают выражения, равные исходному. Путем отбора из совокупности эквивалентных выражений наиболее простого упрощают начальное выражение. Алгоритм действий следует рассмотреть на наглядном примере. Предположим, что имеется дробное выражение:

\(\frac{21-4}{32+2}\)

Заметим, что числитель и знаменатель допустимо посчитать. Вычислим искомые значения и составим справедливое равенство:

\(\frac{21-4}{32+2} = \frac{17}{34}\)

Оба значения, записанные над и под дробной чертой, делятся на одно и то же число, равное 17. Выполним действия и сформулируем новую запись:

\(\frac{21-4}{32+2} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}\)

В результате удалось упростить дробное выражение:

\(\frac{21-4}{32+2} = \frac{1}{2}\)

Как решать дробные выражения

При поиске ответа на задачи с дробными выражениями необходимо учитывать важное свойство таких математических категорий. Суть его заключается в том, что при определенных значениях, которые принимает переменная, рассматриваемое выражение может не иметь смысла. Приведем несколько типичных примеров:

• \(\frac{2}{х}\) утрачивает логический смысл, если х принимает нулевое значение;
• \(3х - \frac{3у}{у-х}\) не обладает смыслом при равенстве значений х и у.

Исходя из вышесказанного, следует заключить, что смысл дробного выражения зависит от значений, которые принимают переменные, записанные в его составе. Смысловое условие выражено в отличии рассматриваемых переменных от нуля. Данное положение необходимо помнить, решая разнообразные примеры с дробными выражениями. С целью упростить понимание основного критерия следует сформулировать следующее понятие.

По итогам рассуждений целесообразно прийти к заключению о том, что процесс решения дробных выражений сводится к определению допустимых значений переменных, которые являются его составными компонентами. Рассмотрим рациональную дробь, где на месте в числителе и знаменателе записаны какие-либо многочлены. К данной категории дробей допустимо причислить следующие записи для наглядного примера:

\(х\div 6\)

\(\frac{15х-3}{2}\)

\(3х - \frac{3у}{у+х}\)

\(\frac{2}{х}\)

Заметим, что в случае рациональных дробей допустимы лишь те значения, которые принимают переменные, не обращающие знаменатель выражения в ноль. При решении заданий на дробные выражения применима инструкция поиска приемлемых значений переменных, входящих в состав дробного числа:

• сопоставление знаменателя рассматриваемой дроби, в котором записана переменная, к нулевому значению;
• вычисление корней полученного равенства, то есть таких значений переменных, которые приравнивают дробный знаменателю к нулю, лишая смысла выражение;
• устранение найденных значений из множества действительных чисел.

Примеры решения задач

Решение

В первую очередь следует проанализировать условия задания. Заметим, по обеим сторонам черты расположены смешанные дробные числа. Из теоретического курса алгебры известно, что для вычисления частного от деления смешанных дробей необходимо переписать заданные числа в формат неправильных дробей. Выполним соответствующие преобразования:

\(\frac{1\frac{1}{3}}{2\frac{1}{6}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{6}}\)

Полученное в результате несложных расчетов дробное выражение соответствует умножению следующих дробных выражений:

\(\frac{1\frac{1}{3}}{2\frac{1}{6}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{6}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{13}\)

На следующем шаге разумно выполнить сокращение знаменателя, записанного в первом дробном числе, и числителя, принадлежащего второй дроби. В качестве делителя в данном случае выступает число 3. Получим такой результат:

\(\frac{1\frac{1}{3}}{2\frac{1}{6}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{6}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{13} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{13} = \frac{8}{13}\)

Ответ: \(\frac{1\frac{1}{3}}{2\frac{1}{6}} = \frac{8}{13}\)

Решение

Разберем два способа решения этого примера. Первый метод заключается в приведении рассматриваемых дробных выражений к единому знаменателю. Выполнить процедуру несложно путем умножения числителя и знаменателя первого дробного числа на 2. Получим следующий результат:

\(\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4} = \frac{2\cdot 2}{0,7 \cdot 2}+\frac{3}{1,4} = \frac{4}{1,4} + \frac{3}{1,4} = \frac{7}{1,4}\)

В знаменателе промежуточного итога получена десятичная дробь. Исключим этот недочет аналогичным способом умножения числителя и знаменателя на 10:

\(\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4} = \frac{7}{1,4} = \frac{70}{14}\)

Затем целесообразно выполнить сокращение всех элементов дробного числа на 7:

\(\frac{70}{14} = \frac{10}{2} = 5\)

Второй метод решения задачи состоит в исключении десятичных дробей из знаменателей на первом этапе расчетов. Сделать это можно с помощью умножения числителя и знаменателя каждой из записанных дробей на 10:

\(\frac{2}{0,7} + \frac{3}{1,4} = \frac{20}{7} + \frac{30}{14}\)

После получения неправильных дробных чисел стоит привести их к единому знаменателю:

\(\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4} = \frac{20}{7} + \frac{30}{14} = \frac{40+30}{14} = \frac{70}{14}\)

После сокращения промежуточного итога на число 7 получим окончательный результат:

\(\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4} = \frac{70}{14} = \frac{10}{2} = 5\)

Ответ: \(\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4} = 5\)

Решение

На первом шаге следует выполнить преобразование выражений, расположенных над и под дробной чертой. В результате на месте числителя и знаменателя получим следующие обычные дроби:

\(\frac{\frac{5}{7}\cdot 16}{\frac{4}{3}\cdot 5 } = \frac{\frac{5\cdot 16}{7}}{\frac{4\cdot 5 }{3}}\)

Целесообразно воспользоваться знаком деления, чтобы упростить последующую работу с записью:

\(\frac{\frac{5}{7}\cdot 16}{\frac{4}{3}\cdot 5 } = \frac{\frac{5\cdot 16}{7}}{\frac{4\cdot 5 }{3}} = \frac{5\cdot 16}{7} \div \frac{4\cdot 5}{3}\)

В процессе деления числа на дробь следует прибегнуть к умножению на аналогичную дробь, но в перевернутом виде, то есть:

\(\frac{\frac{5}{7}\cdot 16}{\frac{4}{3}\cdot 5 } = \frac{5\cdot 16}{7} \div \frac{4\cdot 5}{3} = \frac{5\cdot 16}{7}\cdot \frac{3}{4\cdot 5}\)

Заметим, что существует доступная возможность для сокращения дробных чисел:

\(\frac{\frac{5}{7}\cdot 16}{\frac{4}{3}\cdot 5 } = \frac{5\cdot 16}{7}\cdot \frac{3}{4\cdot 5} = \frac{1\cdot 4}{7} \cdot \frac{3}{1\cdot 1} = \frac{3\cdot 4}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}\)

Ответ: \(\frac{\frac{5}{7}\cdot 16}{\frac{4}{3}\cdot 5 } = 1\frac{5}{7}\)

Решение

Воспользуемся ранее рассмотренным алгоритмом действий. Начнем с приравнивания знаменателя к нулю:

х(х+1) = 0

Получим путем несложных вычислений пару корней:

х = 0

х+1 = 0

х = -1

Исключим полученные значения из множества и сформулируем ответ.

Ответ: для х допустимы все числовые значения за исключением 0 и -1.

Решение

Перепишем условие задания в математическом виде:

\(\frac{х^{2} - 1}{х+1} = 0\)

Получено равенство, которое является справедливым при выполнении следующих соотношений:

\(х^{2} – 1 = 0\)

\(х+1 \neq 0\)

Вычислим корни записанных выражений:

\(х^{2} – 1 = 0\)

(х – 1)(х+1) = 0

х = 1, -1

\(х+1 \neq 0\)

\(х \neq -1\)

Один корень получилось исключить. В результате получим, что исходное выражение принимает нулевое значение, когда х=1.

Ответ: \(\frac{х^{2} - 1}{х+1} = 0\), если х = 1.