Дробные числа: теория

Какие числа называются дробными

При решении задач встречаются разные виды чисел. Нередко задания содержат дроби. Перед тем, как приступить к изучению принципов вычисления ответа с подобными выражениями, необходимо ознакомиться с понятием дробных чисел. Умение определять правильно компоненты дробей и идентифицировать их в зависимости от принадлежности к тому или иному классу позволит значительно упростить расчеты. С помощью характерных свойств можно быстро справляться с примерами и преобразовывать разнообразные математические соотношения. Начать изучение теоретического материала целесообразно с терминологии.

Особый интерес представляет история дробных чисел. К примеру, ученые в процессе исследовательских изысканий обнаружили первое упоминание дробей в Египте и Вавилоне. Возникновение подобных математических категорий обусловлено необходимостью в решении прикладных задач в реальных условиях. У термина дробных чисел имеются арабские корни, обозначающие глаголы «ломать» и «разделять». К настоящему времени это значение понятия не претерпело изменений.

Из чего состоит дробь

Рассмотрение компонентного состава стоит начать с изучения обыкновенных дробей. Представим, что имеется обычное дробное число, записанное в формате \(m/n\), где m и n входят в множество натуральных чисел. В записи данного числа используют пару натуральных числовых значений и горизонтальную линию, обозначающую знак математической операции деления. С помощью черты отделяют делитель от делимого. Сформулируем определение полученных в результате элементов дроби.

Черта, которая отделяет знаменатель и делитель друг от друга, обладает собственным определением. Такую линию принято считать символом операции деления.

Отдельно следует рассмотреть элементы десятичных дробей. Подобная запись характеризуется отсутствием дробной черты. Кроме того, значение знаменателя в этом случае соответствует 10, 100, 1000 и прочим подобным числам. В результате можно сделать вывод о том, что при делении числителя на знаменатель получается десятичная дробь. С целью отделения целой части от дробной в процессе записи в строку между целой и дробной частью ставят запятую.

Виды дробей

Дробное число причисляют к категории сократимых, когда числитель и знаменатель допустимо поделить на одно и то же число. В противном случае, дробь называют несократимой. Приведем еще одну классификацию дробных чисел, ориентироваться на которую необходимо в процессе решения разных задач:

• в правильной дроби числитель меньше по сравнению со знаменателем;
• неправильной называют такую дробь, где числитель больше или равен знаменателю.

Свойства дробных чисел

Как уже упоминалось ранее, дроби обладают рядом полезных свойств. С помощью справедливых закономерностей достаточно просто решать примеры любой сложности и объема. Применение подобных правил оправдано с практической точки зрения. В дальнейшем дробные числа будут встречаться повсеместно, включая разные научные направления и жизненные ситуации. Тогда использование свойств дробных выражений позволит сократить алгоритмы расчетов, исключить возможные ошибки в процессе действий с дробями и корректно выполнять сравнения числовых величин.

Перечислим другие основные свойства дробных чисел, которые применяют в распространенных вариантах решения задач:

• нулевой знаменатель обозначает отсутствие какого-либо значения у рассматриваемого дробного числа;
• при условии нулевого значения для числителя и знаменателя, который отличен от нуля, дробь имеет нулевое значение;
• равенство пары дробных чисел \(\frac{a}{b} и \frac{c}{d}\) справедливо при выполнении следующего условия: \(a \cdot d = b \cdot c\).

Различают обыкновенные и десятичные виды представления дробных чисел. Данные форматы записи дробей обладают рядом закономерностей, которые также могут пригодиться в решении задач. Перечислим основные из них:

• равенство целого фрагмента десятичной дроби целой части смешанной дроби;
• при значении числителя, которое меньше по сравнению со знаменателем, целая часть дробного числа обладает нулевым значением;
• дробная часть десятичной дроби включает в себя аналогичные цифры, что и числитель рассматриваемого дробного числа, представленного в обычном виде, если в знаменателе обыкновенной дроби записаны такие числа, как 10, 100, 1000 и прочие подобные;
• количество цифр, следующих за знаком запятой, определяется тем, сколько нулей содержит в себе знаменатель обычного дробного числа.

Действия с дробями

Дробные числа, как и множества других, допускают выполнение различных математических операций. Однако в процессе решения примеров требуется учитывать некоторые свойства дробей в зависимости от формата их записи. В распространенных случаях в заданиях предполагается сложение, вычитание, деление, умножение, сравнение и прочие манипуляции с дробными выражениями, а также их комбинации.

При сравнении дробных чисел важно учитывать основную закономерность, согласно которой большим значением обладает дробное число, имеющее больший числитель. При этом предусмотрено равенство знаменателей сопоставляемых дробей. Рассмотрим выполнение озвученного положения на практическом примере. Представим, что имеется пара дробных выражений:

\(\frac{1}{5} и \frac{4}{5}\)

Проанализируем записанные числа. Заметим, что у представленных дробей есть идентичный знаменатель. Одно из условий правила выполнено. Перейдем к рассмотрению числителей. Запишем следующее соотношение:

1 < 4

В таком случае справедливо сформулировать сравнение исходных дробных чисел:

\(\frac{1}{5} < \frac{4}{5}\)

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Перейдем к примеру несколько сложнее. Попробуем правильно выбрать знак для записи сравнения следующих дробей:

\(\frac{1}{2} и \frac{1}{8}\)

В данном случае дробные числа имеют разные знаменатели. По этой причине в первую очередь необходимо соблюсти первое требование. С целью сравнения пары дробей, которые имеют на месте знаменателей разные числовые комбинации, потребуется привести дробные значения к единому знаменателю. По итогам несложных математических манипуляций следует воспользоваться правилом, озвученным ранее, чтобы сопоставить дроби. В результате получим:

\(\frac{1}{2} > \frac{1}{8}\)

Сформулируем стандартный алгоритм действий при сравнении дробных чисел:

• приведение дробей к единому знаменателю;
• сравнение числителей дробных чисел, обладающих равными знаменателями;
• запись результата сопоставления.

Приведение дробных чисел к идентичному знаменателю не отнимет много сил и времени. Важно уметь оперировать простой инструкцией, чтобы не допустить ошибок. Порядок действий следующий:

• поиск общего кратного для знаменателей дробных чисел;
• запись общего знаменателя в соответствии с определенным ранее кратным;
• деление единого знаменателя на знаменатель рассматриваемых дробных выражений;
• запись полученного в результате деления дополнительного множителя с последующим его умножением на все элементы дробных чисел.

Перечисленные правила и инструкции полезно применять при других действиях с дробными числами. К примеру, в процессе сокращения дробей необходимо поделить числитель и знаменатель дробного выражения на одинаковое число из множества натуральных чисел. В результате запись приобретает краткий вид и становится более удобной для восприятия. Такой подход к работе с дробями актуален при вычислении простых примеров и сложных выражений с несколькими неизвестными.

Избежать ошибок при сокращении дробных чисел легко. С этой целью необходимо следовать инструкции и выполнять действия поэтапно. Порядок расчетов следующий:

• зачеркнуть числитель и знаменатель дробного числа;
• записать рядом с ними итог деления каждого из элементов дробного выражения на одинаковое число.

Когда известны основные аспекты сокращения и сравнения дробных чисел, целесообразно переходить к следующим операциям по суммированию и вычитанию дробей. В данной ситуации не обойтись без простой инструкции:

• проанализировать записанные дробные выражения;
• если знаменатели отличаются, необходимо привести дроби к единому знаменателю;
• второй шаг допустимо пропустить при равенстве значений записанных знаменателей в исходном варианте дробных чисел;
• на следующем этапе числители складывают или вычитают в зависимости от знака, установленного в примере;
• полученный итог необходимо сократить, либо попробовать выделить целую часть, если получилась по результатам вычислений неправильная дробь.

Продемонстрируем работу записанного алгоритма на практике. С этой целью попробуем решить простой пример на суммирование пары дробных чисел. Запишем начальные условия задания:

\(\frac{3}{15} + \frac{4}{18}\)

Заметим, что указанные в задаче дроби обладают разными знаменателями. По этой причине в первую очередь потребуется определить, чему равно общее кратное для представленных дробных чисел:

\(НОК (15, 18) = 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 90\)

Далее определим значение дополнительных множителей для каждой дроби соответственно. Получим следующие действия:

\(90 \div 15 = 6\)

\(90 \div 18 = 5\)

Результирующий итог следует записать с правой стороны относительно дробей над числителем. В данном случае целесообразно применить одно из основных свойств, характерных для дробных выражений, а именно умножение элементов дроби на вычисленный ранее дополнительный множитель. По итогам определения результатов произведения знаменатель должен быть равен минимальному общему кратному, рассчитанному на предыдущем шаге. На следующей стадии допустимо выполнить сложение дробей:

\(\frac{3}{15} + \frac{4}{18} = \frac{18}{90} + \frac{20}{90} = \frac{38}{90}\)

Итог вычислений получен, но действия, направленные на решение задачи, на этом не заканчиваются. Обратимся к заранее сформулированному алгоритму. Выполним заключительную проверку на выполнение следующих условий:

• при превышении числителем значения знаменателя дробное число необходимо представить в виде смешанного числа;
• при наличии возможности сокращения дроби следует воспользоваться соответствующим правилом и записать более краткую форму дробного значения.

Получим следующий результат:

\(\frac{19}{45}\)

Умножение и деление дробных чисел также заслуживают отдельного внимания, так как часто встречаются в задачах по алгебре, геометрии, физики и других дисциплинах. Сформулируем понятия произведения пары дробных чисел. Операция предполагает получение в итоге математических преобразований дроби с числителем, равным результату умножения числителей. Знаменатель при этом рассчитывают как произведение знаменателей. В конце важно изыскать возможность для сокращения итоговой дроби. Запишем пошаговый алгоритм действий:

• преобразование смешанных дробей в формат неправильных;
• умножение числителей и знаменателей дробных значений;
• сокращение полученного выражения;
• обратная трансформация неправильного дробного значения в смешанную дробь.

В процессе вычисления частного от деления пары дробных чисел можно воспользоваться инструкцией, чтобы исключить путаницу в шагах и ошибки при выполнении действий с составными элементами дробей. Сформулируем порядок реализации процедуры:

• числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Таким образом, главный принцип деления дробных чисел состоит в том, чтобы разделить одну дробь на другую путем умножения первой на обратную от второй. В данной ситуации не имеет значение равенство знаменателей дробей, участвующих в расчетах. Когда задание предполагает работу со смешанными дробными числами, то в первую очередь потребуется перевести такие выражения в формат неправильных дробей.