Координаты середины отрезка

Что такое середина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой. 

Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

\(x_C-x_A=x_B-x_C\)

\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

\(x_A=x_B\)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, C— это проекции исходных точек.

По построению прямые AAx, BBx, CCотносительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

\(A_xC_x=C_xB_x\)

\(A_yC_y=C_yB_y\)

Это значит, что Cи Cявляются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz; Cx, Cy, C— проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)

\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)

\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)

Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, C— делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)

Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка

Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.

Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(xA,yA) и B(xB,yB), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.

По определению действий над вектором в геометрии:

\((1)\;\overrightarrow{OC}=\frac12\times\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\)

В рассматриваемой ситуации в точке C пересекаются диагонали параллелограмма с основаниями: \(\overrightarrow{OA},\;\overrightarrow{OB} \).

Это значит, что С — это центр диагоналей.

Поскольку координаты радиус вектора совпадают с координатами точки, имеем: \(\overrightarrow{OA}=\left(x_A,\;y_A\right),\;\overrightarrow{OB}=\left(x_B,\;y_B\right) \).

Произведем подстановку в формулу (1):

\(\overrightarrow{OC}=\frac12\times\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\frac{x_A+x_B}2,\;\frac{y_A+y_B}2\right) \).

Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\;\frac{y_A+y_B}2\right)\)

По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)

Примеры решения задач

Задача № 1

Дано: в декартовой системе координат имеются точки M(5,4) и N(1,−2). Найти координаты середины отрезка MN.

Решение:

Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:

\(x_O=\frac{x_A+x_B}2=\frac{5+1}2=\frac62=3\)

\(y_O=\frac{y_A+y_B}2=\frac{4+\left(-2\right)}2=\frac{4-2}2=\frac22=1\)

Точка O имеет координаты (3,1).

Ответ: (3,1).

Задача № 2

Дано: треугольник ABC лежит в прямоугольной системе координат. Известны координаты его вершин: A(7,3), B(−3,1), C(2,4). Вычислите длину медианы АМ.

Решение:

Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:

\(x_М=\frac{x_В+x_С}2=\frac{-3+2}2=\frac{-1}2=-0,5\)

\(y_М=\frac{y_В+y_С}2=\frac{1+4}2=\frac52=2,5\)

Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:

\(AM=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(-0,5-7\right)^2+\left(-2,5-3\right)^2}=\sqrt{-7,5^2+\left(-5,5\right)^2}=\sqrt{56,25+30,25}=\sqrt{86,5} \).

Ответ: √86,5.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»