Перевод смешанного или целого числа в неправильную дробь

Общие сведения о дробях

В стандартном виде дроби записываются так: \( \frac mn.\)

Число над чертой называется числителем, под ней — знаменателем. Такую запись можно передать словами, как m частей из n, причем \(\frac nn\) равняется единице.

Например, \(\frac67\) — это 6 частей из 7.

В такой форме можно записать любое рациональное число, в том числе целое. При этом в качестве знаменателя может выступать любое натуральное число.

Так, единицу можно представить как \(\frac88,\;\frac{13}{13},\;\frac{857}{857}\) и так далее.

Для записи чисел больше одного в дробной форме необходимо это число умножить на числитель:

\(2=2\cdot1=2\cdot\frac55=\frac{10}5.\)

Существует понятие правильных и неправильных дробей.

Соответственно, у неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю. Из приведенных выше примеров\( \frac67\) — правильная дробь, а \(\frac88,\;\frac{13}{13},\;\frac{857}{857}\) и \(\frac{10}5\) — неправильные.

Формы дробной записи

Как уже описывалось выше, стандартный способ записи обыкновенных дробей — через горизонтальную черту. Числитель помещается сверху, знаменатель — под чертой: \(\frac mn.\)

Также распространена строчная форма записи через наклонную черту: . Так, числитель оказывается слева, знаменатель — справа.

Один из самых распространенных и часто используемых на практике методов записи дробей — десятичная дробь. В этом случае число записывается как результат деления числителя на знаменатель. При этом, целая часть отделяется от остаточной при помощи запятой (в стандарте стран СНГ) или точкой.

Десятичные дроби могут быть конечными и бесконечными. У конечных ограниченное количество знаков после запятой: 0,15; 7,1; 871,986 и т.д. Пример бесконечной десятичной дроби — число \( \mathrm\pi\). В обычной форме оно выглядит, как \(\frac{22}7\), в десятичной: 3,1415926535897…

По своей сути, все десятичные дроби являются смешанными числами.

Понятие смешанного числа

По сути, смешанное число — это упрощенный вид записи суммы целого числа и правильной дроби. Например, \(2\frac57\) можно обозначить, как \(2+\frac57\). Читаться такая запись будет так: «две целых, пять седьмых».

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Неправильные дроби отличаются от правильных тем, что в них числитель больше знаменателя. То есть, если представлять их буквально как операцию деления, то делимое больше делителя. Это значит, что в них содержится целая часть, выделив которую можно получить смешанное число.

Необходимость и алгоритм преобразования

В первую очередь, выделение целой части повышает удобство чтения записанных нецелых чисел и позволяет лучше понимать их значение. Это можно оценить на простом примере: \(\frac{12}5=2\frac25\). Можно пойти дальше и перевести смешанное число в десятичную дробь: \(2\frac25=2,4\). 

При решении задач зачастую необходимо преобразовать смешанные числа в дробные, так как с ними проще проводить вычисления.

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы записать смешанное число в форме неправильной дроби необходимо выполнить два действия: умножить целую часть на знаменатель и прибавить полученный результат к числителю.

Пример:

\(4\frac78=\frac{4\cdot8+7}8=\frac{32+7}8=\frac{39}8\)

Этот упрощенный способ преобразования работает на том принципе, что любое целое число можно представить в виде произведения этого числа на единицу. Единицу же в свою очередь можно представить в виде дроби, где числитель равен знаменателю. Разберем предыдущий пример более подробно:

\(4\frac78=4+\frac78=4\cdot1+\frac78=4\cdot\frac88+\frac78=\frac{32}8+\frac78=\frac{39}8\)

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обратное преобразование работает на принципе, согласно которому, при делении двух некратных друг другу чисел, делимое можно представить в виде суммы кратного делителю числа и некоего остатка. В качестве примера возьмем число из предыдущего пункта:

\(\frac{39}8=\frac{32}8+\frac78=4+\frac78=4\frac78\)

В этом преобразовании можно пойти дальше и представить смешанное число в виде десятичной дроби. Для этого целая часть отделяется запятой, а операция деления продолжается с остатком, умноженным на 10. Само деление продолжается до тех пор, пока остаток не окажется равен нулю.

\(4\frac78=4,0+\frac{7\cdot10}8=4,0+\left(\frac{64}8+\frac68\right)=4,8+\frac{6\cdot10}8=4,8+\left(\frac{56}8+\frac48\right)=4,87+\frac{40}8=4,875\)

В случае с бесконечными десятичными дробями, деление продолжается до тех пор, пока число знаков после запятой не удовлетворит условие задачи. В таком случае, последняя цифра округляется согласно установленным правилам.