Перемножение корней с одинаковыми основаниями

Как происходит перемножение корней с одинаковыми основаниями

Правило применимо в том случае, когда требуется объединить различные числа под одним знаком корня, либо при необходимости представить запись выражения в виде произведения:

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)

Области применения теоремы:

• умножение квадратных корней;
• умножение корней, которые имеют любые другие одинаковые основания или показатели;
• умножение корня на число.

В последнем случае число возводят в степень, соответствующую показателю корня, и записывают под знаком корня, таким образом:

\(a \cdot \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}\)

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить корень:

\(\sqrt{36 \cdot 64 \cdot 9}\)

Решение:

\(\sqrt{36 \cdot 64 \cdot 9}=\sqrt{36} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{9}=6 \cdot 8 \cdot 3 = 144\)

Ответ: 144

Задача 2

Найти корень:

\(\sqrt{7056}\)

Решение:

\(\sqrt{7056}=\sqrt{2^4+3^3+7^2}=\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2^2 \cdot 3 cdot 7 =84\)

Ответ: 84

Задача 3

Определить корень:

\(\sqrt{25}\cdot \sqrt{4}\)

Решение:

\(\sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10\)

Ответ: 10

Задача 4

Вычислить корень:

\(\sqrt{32}\cdot \sqrt{2}\)

Решение:

\(\sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\)

Ответ: 8

Задача 5

Рассчитать корень:

\(\sqrt{54}\cdot \sqrt{6}\)

Решение:

\(\sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18\)

Ответ: 18

Задача 6

Найти корень:

\(\sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}\)

Решение:

\(\sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

Решение примеров с помощью обобщения теоремы

Решение типичных задач на применение теоремы умножения корней основано на упрощении иррациональных выражений. При извлечении корней из 32 и 2 было получено произведение, которое являлось точным квадратом, корень из которого определяется рациональным числом. Отдельно вычислить \(\sqrt{32}\) и \(\sqrt{2}\)  не представляется возможным. В последнем примере в обоих подкоренных выражениях находятся дробные числа. С помощью произведения удалось сократить многие из множителей, что позволило оптимально преобразовать все выражение.

Умножать можно не только пары, но и несколько корней. Правило справедливо и в этом случае. Целесообразно рассмотреть применение теоремы на примерах:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6\)

\(\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}\)

В задачах нередко встречаются корни с произвольной степенью n. При этом можно воспользоваться правилом умножения корней. Таким образом, чтобы перемножить два корня степени n, требуется перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В качестве примеров можно вычислить следующие выражения:

\(\sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5\)

\(\sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}\)

Во втором случае в процессе умножения кубических корней была исключена десятичная дробь. В результате знаменатель принял вид произведения чисел 625 и 25. Так как данное число большое, целесообразно выделить точный куб в числителе и знаменателе, чтобы применить одно из ключевых свойств корня n-й степени:

\(\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \)

\(\sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|\)

Умножение корней с разными показателями

Благодаря рассмотренной теореме, не возникает сложностей в процессе умножения корней, которые имеют одинаковые показатели. Однако встречаются произведения корней с разными показателями. Например, требуется умножить обычный \(\sqrt{2}\) на \(\sqrt[7]{23}\). В данном случае, чтобы умножить \(\sqrt[n]{a}\) на \(\sqrt[p]{b}\), достаточно выполнить следующее преобразование:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\)

Равенство справедливо лишь в том случае, когда подкоренные выражения обладают неотрицательными значениями. Примеры решения задач:

\(\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[3\cdot 4]{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt[12]{81\cdot 8}=\sqrt[12]{648}\)

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[5]{7}=\sqrt[2\cdot 5]{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt[10]{32\cdot 49}=\sqrt[10]{1568}\)

\(\sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[8]{625\cdot 9}=\sqrt[8]{5625}\)

Перед умножением корней следует преобразовать подкоренные выражения, чтобы они приняли неотрицательные значения. Например, число \(\sqrt[3]{-5}\) можно избавить от знака минус из-под корня. Дальнейшие действия:

\(\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}\)

\(\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[6]{25}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[3]{5}\)

Наиболее правильным и надежным методом умножения корней является следующий алгоритм:

1. Устранение минусов из-под радикалов. Минусы можно встретить только в корнях нечетной кратности. Такие минусы допустимо подставлять перед корнем и при необходимости сокращать, например, если этих минусов окажется два.
2. Выполнить умножение по рассмотренным ранее правилам. При одинаковых показателях корней следует перемножить подкоренные выражения. В том случае, когда показатели корней разные, целесообразно воспользоваться формулой: \(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}.\)

Задача 1

Необходимо упростить выражение:

\(\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}\)

Решение:

При одинаковых и нечетных показателях корней сложность в решении задачи заключается в наличии минуса у второго множителя. После вынесения знака минус выражение достаточно легко преобразовать:

\(\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{48}\cdot \left( -\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{3}} =-\sqrt[3]{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4\)

Ответ: -4

Задача 2

Требуется упростить выражение:

\(\sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}\)

Решение:

В данном случае не получится избавиться от корня полностью, но с помощью стандартного алгоритма действий выражение приобретает упрощенный вид:

\(\sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt[3]{{{2}^{2}}}=\sqrt[4\cdot 3]{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \sqrt[12]{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt[12]{{{2}^{23}}}\)

Ответ: \(\sqrt[12]{{{2}^{23}}}\)

Задача 3

Нужно упростить выражение:

\(\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}\)

Решение:

\(\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6\cdot 3]{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt[18]{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \sqrt[18]{{{a}^{27}}}=\sqrt[2\cdot 9]{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \)

Ответ: \(\sqrt{{{a}^{3}}} \)