Точки пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения графиков функций

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции \(y = f(x)\) является множеством точек \((x; y)\), координаты которых связаны соотношением \(y = f(x).\)

Равенство \(y = f(x)\) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

  1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
  2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
  3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

\(f(x) = k_1 x+m_1\)

\(g(x) = k_2 x + m_2\)

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения \(x_1\) и \(x_2\) и найти \(f(x_1)\) и \((x_2)\). Далее действия необходимо повторить с функцией \(g(x)\). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда \(k_1 \neq k_2\). В противном случае \(k_1=k_2\), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При\( k_1 \neq k_2\) и \(m_1=m_2\) точка пересечения будет соответствовать \(M(0;m)\). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Задача № 1

Имеются функции: \(f(x) = 2x-5\)

\(g(x)=x+3\)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Решение

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

\(k_1 = 2\)

\(k_2 = 1\)

Заметим, что:

\(k_1 \neq k_2\)

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

\(f(x)=g(x)\)

\(2x-5 = x+3\)

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные - в правую:

\(2x - x = 3+5\)

\(x = 8\)

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в \(f(x)\), либо в \(g(x)\):

\(f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11\)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Ответ: M (8;11)

Задача № 2

Записаны две функции: \(f(x)=2x-1\)

\(g(x) = 2x-4.\)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Решение

Угловые коэффициенты:

\(k_1 = k_2 = 2\)

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Задача № 3

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: \(f(x)=x^2-2x+1\)

\(g(x)=x^2+1\)

Решение

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

\(x^2-2x+1=x^2+1\)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

\(x^2-2x-x^2=1-1\)

\(-2x=0\)

\(x=0\)

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить \(x = 0\) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

\(f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1\)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Ответ: M (0;1)

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

  • раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
  • перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
  • математические преобразования;
  • определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

  • разложение на множители;
  • выделение полного квадрата;
  • поиск дискриминанта;
  • теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

\((-S)^2-4PU\)

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

  • выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
  • выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
  • проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.
Примечание

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

  • понижение степени, то есть разложение на множители;
  • замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

  • выполнение математических преобразований;
  • выражение переменной через другую;
  • решение квадратного или линейного уравнения;
  • подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
  • вычисление искомых корней;
  • проверка;
  • исключение ложных решений;
  • запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

К примеру
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Решение будет иметь следующий вид:

Решение будет иметь следующий вид
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Прямые пересекаются в точке
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

  • система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
  • решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
  • система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

К примеру, необходимо решить следующую систему
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение имеет следующий вид:

Решение имеет следующий вид
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Можно построить первый график по точкам
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Ответ: (0; 1); (-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

Можно решить систему графическим способом
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

График второго уравнения является параболой
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Первым шагом является построение графика первого уравнения
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее необходимо построить график функции:

Далее необходимо построить график функции
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График будет являться ломанной:

График будет являться ломанной
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

В результате получится график функции
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация
Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

\(f1(x)=f2(x)\)

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой
Источник: st03.kakprosto.ru

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

\(y1=k1x+b1\)

\(y2=k2x+b2\)

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

\(y1=y2 \ или \ k1x+b1=k2x+b2\)

После преобразований получится, что:

\(k1x-k2x=b2-b1.\)

Далее нужно выразить x:

\(x=(b2-b1)/(k1-k2).\)

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

\(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2)\)

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции
Источник: st03.kakprosto.ru

В данном случае при х=0 \((y=a*0+b)\) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть \(y=f(x)=0\). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение \(f(x)=0\). В случае линейной функции получаем уравнение \(ax+b=0\), откуда и находим \(x=-b/a\). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке \((-b/a,0).\)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение \(f(x)=0\) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, \(y=sin(x)\), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.00 (Голосов: 2)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»