Как построить график линейной функции

Что такое линейная функция

В математической науке установленные и предполагаемые связи между теми или иными величинами принято обозначить функциональными зависимостями. В качестве примера можно рассмотреть объем денежных средств, который является функцией заработной платы сотрудника. Вес представляет собой функцию от потребляемого количества пищи. Расстояние считают функцией времени, то есть при увеличении времени в пути растет число пройденных метров. При рассмотрении данной темы в математике нередко можно встретить понятие «линейная функция». Представим определение этого термина.

Сформулированное понятие применимо к функциональным зависимостям с единственной переменной. Таким образом, функция представляет собой правило, согласно которому одному из элементов некоторого множества, то есть аргументу, ставится в соответствие определенный компонент в единственном числе, принадлежащий другому множеству. В процессе рассмотрения функции y=f(x) допустимо записать для каждого приемлемого значения, которое принимает переменная x в виде аргумента, соответствующее одно значение переменной у, являющейся функцией.

В том случае, когда линейная функция записана в формате y=kx+b, коэффициенты k и b представляют собой любые числовые значения. Таким образом, под линейной функцией понимают взаимосвязь, выраженную прямо пропорциональным отношением функции и аргумента. Выбор наименования линейной функциональной зависимости обусловлен ее графическим изображением в виде прямой линии.  

При рассмотрении какой-либо функции оперируют понятиями ее области определения D(y) и области значений E(y). Руководствуясь изученным теоретическим материалом по теме, допустимо сделать вывод о том, что в случае линейной функции y=kx+b аргумент принимает любые значения. Таким образом, областью определения рассматриваемой функциональной зависимости является множество действительных чисел D(y)=R, то есть \(D(y)=(−\infty;+\infty)\).

С другой стороны, функция и ее аргумент прямо пропорционально взаимосвязаны. В результате описанной зависимости во время увеличения аргумента х возрастает значение функции у. Допустимо предположить справедливость равенства у любым значениям по аналогии с х, то есть E(y)=R. У данного утверждения существуют некоторые ограничения. Озвученные условия обусловлены тем, что в соотношении y=kx+b при нулевом значении коэффициента k и любом значении коэффициента b функция обладает одинаковыми величинами, независимо от х. Озвученные рассуждения можно представить с помощью математической записи:

\(y = kx + b:{\rm{ }}\left[ \begin{array}{l}E\left( y \right) = \mathbb{R}{\rm{ при }}k \ne 0\\E\left( y \right) = \left\{ b \right\}{\rm{ при }}k = 0.\end{array} \right.\)

Свойства

В процессе решения заданий на линейные функции полезно использовать общепринятые правила, чтобы упростить вычисления и исключить ошибки. С помощью таких закономерностей допустимо выражать величины с помощью известных значений компонентов функциональных зависимостей, рассчитывать переменные, формулировать порядок действий при построении графических изображений. Главным свойством множества линейных функций считают пропорциональность приращения функции и увеличения ее аргумента. Подобная закономерность обобщает прямую пропорциональность в математике и других науках. Перечислим полезные свойства линейных функций:

• величина k, обозначающая угловой коэффициент прямой, равна тангенсу угла \(\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}};\pi \right)\), образованному прямой линией и положительным направлением оси абсцисс, и рассчитывается путем следующих вычислений: \(k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\);
• при выполнении условия, когда коэффициент k обладает строго положительным значением, то есть k>0, прямая линия составляет острый угол с положительным направлением оси абсцисс;
• в том случае, когда коэффициент k принимает строго отрицательное значение, то есть k<0, между прямой линией и положительным направлением оси абсцисс образуется тупой угол;
• если коэффициент k характеризуется нулевым значением, то есть k=0, то графическое изображение функции в виде прямой и ось абсцисс расположены параллельно относительно друг друга;
• пара прямых, выраженных с помощью \(y=k_{1}x+b_{1} и y=k_{2}x+b_{2}\), образуют угол на координатной плоскости, который рассчитывается с помощью формулы \(\mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|, где k_{1}k_{2}\neq -1\), где \(k_{1}k_{2}\neq -1\), то есть прямые линии нельзя назвать взаимно перпендикулярными, при \(k_{1}=k_{2} ~\alpha =0\), и прямые расположены на графике параллельно;
• величина b представляет собой параметр ординаты точки, в которой прямая пересекается с осью ординат;
• в том случае, когда b=0, прямая обладает общей точкой пересечения с началом координат на плоскости;
• линейная функция характеризуется монотонностью и не является выпуклой при рассмотрении на всей области определения \((\mathbb {R} )\);
• производная f'(x) и первообразная F(x) функции f(x)=kx+b вычисляются с помощью формул \(f'(x)=k, F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C\);
• функцию, которая является обратной относительно функциональной зависимости f(x), рассчитывают с помощью соотношения \(f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}\).

Как построить

Графическое решение задач в алгебре, физике, геометрии и других областях научных знаний позволяет наглядно представить зависимость между теми или иными величинами, выявить связи между параметрами каких-либо процессов или явлений. В частности, линейная функция, являющаяся вещественной, с единственной вещественной переменной на координатной плоскости имеет вид прямой линии. С целью построения графика такой функциональной зависимости y=kx+b удобно воспользоваться стандартным алгоритмом действий:

• в начале построения на оси ординат Y (Х=0) обнаружить точку, характеризующуюся равенством y=b,;
• двигаясь по графику в правую сторону относительно оси абсцисс Х и совершая k шагов вверх (или вниз, в зависимости от знака k), следует отметить точку графика;
• предыдущий этап необходимо повторить в случае необходимости более точного построения графического изображения рассматриваемой функциональной зависимости;
• в результате последующего соединения построенных точек формируется прямая линия, которая представляет собой график изучаемой линейной функции.

Формула

Рассмотрим, чему равна линейная функция n при условии, что переменные соответствуют следующим значениям:

\(x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\)

В таком случае справедливым является следующее соотношение:

\(f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}\)

Тогда \(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\) обозначают фиксированные числовые значения. В качестве области, на которой определяется рассматриваемая линейная функциональная зависимость, подразумевают n-мерное пространство переменных \(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\) из множества вещественных или комплексных чисел.

Если предположить, что \(a_{0} \) обладает нулевым значением, то в таком случае линейная функция приобретает свойство однородности, то есть становится линейной формой. При выполнении условия, когда используемые в записи функциональной зависимости переменные \(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\) и коэффициенты \(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\) принадлежат к множеству вещественных чисел, линейная функция характеризуется определенным графическим изображением. В (n+1)-мерном пространстве переменных \(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\),y такой график представляет собой n-мерную гиперплоскость \(y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}\). Частным случаем служит прямая линия на координатной плоскости при условии, что n=1.

График

Примеры графического изображения линейной функции на плоскости с координатными осями:

Источник: ru.wikipedia.org

Примеры решения задач

Источник: ege-study.ru

Решение

Поиск ответа на задачу следует начать с рассмотрения первой по порядку функции:

y=-2x+4

Заметим, что данная функциональная зависимость представлена в стандартном формате. Таким образом, целесообразно воспользоваться свойствами для коэффициента функции, изученными в теоретическом разделе. Проанализируем значение коэффициента:

k=-2 < 0

Так как коэффициент принимает отрицательное значение, допустимо сделать вывод об убывании исследуемой функции. Далее заметим, что b=4. При этом точка, в которой пересекаются прямая и ось ординат, расположена выше, чем нулевая отметка на графике. Удовлетворяет озвученным условиям построения графика функциональной зависимости изображение под номером 4.

Перейдем к следующей формуле:

y=2x-4.

Аналогично предыдущему примеру рассмотрим в первую очередь коэффициент:

k=2 > 0

Исходя из того, что значение коэффициента больше нуля, допустимо сделать вывод о возрастании функции на графике. Одновременно с этим условием b=-4. Тогда общая точка для прямой линии и оси ординат будет отмечена ниже относительно нуля. Таким образом, описание графического изображения рассматриваемой функции совпадает с примером на рисунке 3.

Завершим решение задания определением графика для функциональной зависимости, выраженной уравнением:

y=2x+4

Значение коэффициента со знаком плюса, то есть k=2 > 0, свидетельствует о возрастании функции в рамках координатной плоскости. Вместе с тем, b=4. Таким образом, точка, в которой пересекаются прямая линия и ось Оу, расположена выше, чем нулевая отметка. Данное описание соответствует графическому изображению на 2 рисунке.

Ответ: графики под номерами 4, 3, 2.

Источник: ege-study.ru

Решение

По аналогии с первой задачей воспользуемся стандартным алгоритмом исследования функциональных зависимостей. Целесообразно обратиться к перечисленным ранее свойствам линейных функций. В результате в зависимости от значений, которые принимают коэффициенты, записанные в формулах по условию, допустимо выявить особенности размещения графических изображений функций на координатной плоскости. По итогам анализа остается сопоставить полученные сведения с представленными в задании графиками.

Начнем с первого изображения. Здесь прямая линия расположена параллельно оси абсцисс и пересекает отметку с координатами (0;2). Таким образом, первый график соответствует выражению для функциональной зависимости под номером 4, то есть:

у=2.

Следующая прямая линия пересекает точку начала координат. Под озвученные условия подходит пара вариантов, то есть первая и вторая формула. Заметим, что рассматриваемая функция характеризуется свойством возрастания. Таким образом, второму рисунку соответствует математическое соотношение, записанное под номером 1:

у=2х.

На графике под номером 3 изображена возрастающая функция. При таком поведении на координатной плоскости точка, в которой пересекаются прямая линия и ось ординат, расположены выше, чем нулевая отметка. Из записанного рассуждения можно сделать вывод о том, что изучаемому графическому изображению соответствует третий вариант формулы, а именно:

y=x+2.

Ответ: изображенные в условии задания графики соответствуют функциям под номерами 4, 1, 3.

Решение

Исходя из особенностей условия, задачу допустимо решать двумя способами. В первом случае можно выполнить построение графических изображений представленных функциональных зависимостей с последующим поиском координат точки, в которой прямые линии пересекаются. По озвученному алгоритму реализован графический метод решения. С целью тренировки практических навыков применим в данном примере аналитический метод поиска ответа, который состоит в решении уравнений.

Заметим, что общая точка для рассматриваемых функций расположена одновременно на прямых линиях, которые являются их графиками. Таким образом, координаты этой отметки допустимо применить для первой и второй функциональной зависимости путем подстановки. В результате будут сформированы справедливые равенства. В процессе вычисления абсциссы точки пересечения графических изображений необходимо записать правые части уравнений через знак равенства:

2x-5=x+3

На следующем этапе рассчитаем ответ к полученному линейному уравнению:

2x-x=3+5

х=8

Выполним повторно подстановку рассчитанного значения переменной в математическое выражение для какой-либо исходной функции. Получим следующее соотношение:

\(y=2\cdot 8-5=16-5=11\)

Ответ: (8;11).

Решение

На первом этапе рассмотрим алгоритм действий для поиска отметки, являющейся общей для графика функциональной зависимости из условия задания и оси абсцисс:

y=0

0,5x+3=0

0,5x=-3

\(x=-3 \div 0,5\)

x=-6.

Таким образом, искомая точка расположена на плоскости в отметке с координатами (-6;0). Затем перейдем к вычислению координат точки, в которой пересекаются графическое изображение заданной функции и ось ординат:

x=0

\(y=0,5\cdot 0+3=3\)

Общая точка графика функциональной зависимости и оси Oy соответствует координатам (0;3).

Ответ: (-6;0), (0;3).

Решение

Поочередно выполним подстановку координат каждой из представленных в условии задания отметок в математическое соотношение, выражающее линейную функцию. На следующем шаге проверим справедливость полученных уравнений.

x=3, y=-13

\(-13=-4\cdot 3-1\)

-13=-13

Сформулированная запись справедлива. Из данного утверждения можно сделать вывод о принадлежности рассматриваемой точки исходной прямой. Таким образом, первая отметка расположена на графическом изображении функции.

x=-5, y=-4

\(-4=-4\cdot (-5)-1\)

-4=19

Полученное равенство является неверным. Исходя из этого, прямая через вторую точку не проходит.

Ответ: график линейной функции проходит только через первую точку, имеющую координаты (3;-13).