Логарифм частного

Что такое логарифм частного

Записывается так: \(x=\log_a\left(b\right)\), причем основание a должно быть положительным и не равняться единице. Подставив данное выражение в формулу степенной функции \(a^x=b\) можно получить основное логарифмическое тождество:

\(a^{\log_a\left(b\right)}=b\)

В логарифме частного в качестве числа b выступает дробное выражение. Благодаря его свойствам, такая запись при решении преобразуется в более простую.

Формула для вычисления

Данное преобразование в равной степени справедливо и в обратном порядке:

\(\log_a\left(x\right)-\log_a\left(y\right)=\log_a\left(\frac xy\right),\) где \(a>0,\;a\neq1,\;x>0\;\)и\(\;y>0.\)

В целом, под понятие «логарифм частного» подпадают и выражения, в которых делимое равняется единице. Для их решения проводить преобразование в разность не обязательно, так как \(\frac1{x^y}=x^{-y},\) то есть:

\(\log_x\left(\frac1{x^y}\right)=-y\)

Стоит отметить, что подобное превращение одного арифметического действия в другое наблюдается и с другими вариантами логарифмируемых выражений. Так, произведение переходит в сумму, а степень выносится вперед в качестве множителя. Последнее касается и основания, по которому проводится операция. В этом случае за пределы выносится число, обратное степени.

Разность логарифмов

Так как результатом логарифмирования является число, то и действия с ними производятся как с числами.

Если при решении функции возникает необходимость преобразования логарифма частного в разность и наоборот, обязательно стоит учитывать области допустимых значений всех элементов функции.

Примеры задач и решения

Задача 1

Вычислить логарифм \(\log_3\left(\frac{\sqrt{27}}{81}\right)\)

Решение

Проведем преобразование логарифма частного в разность логарифмов:

\(\log_3\left(\frac{\sqrt{27}}{81}\right)=\log_3\left(\sqrt{27}\right)-\log_3\left(81\right)\)

Квадратный корень из 27 не извлекается, но, так как 27=3³, данное выражение можно записать в виде дробной степени:

\(\log_3\left(\sqrt{27}\right)-\log_3\left(81\right)=\log_3\left(\sqrt{3^3}\right)-\log_3\left(81\right)=\log_3\left(3^{\textstyle\frac32}\right)-\log_3\left(81\right)\)

Вычисляем полученные логарифмы:

\(\log_3\left(3^{\textstyle\frac32}\right)-\log_3\left(81\right)=\frac32-4=\frac32-\frac82=\frac52=2,5\)

Ответ: \(\log_3\left(\frac{\sqrt{27}}{81}\right)=2,5.\)

Задача 2

Вычислить значение функции \(y=\log_x\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^4}\right).\)

Решение

Преобразуем логарифм частного в разность:

\(y=\log_{x^2}\left(\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^4}\right)=\log_{x^2}\left(\sqrt[3]{x^2}\right)-\log_{x^2}\left(x^4\right)\)

Как и в прошлом примере, выразим корень в виде дробного выражения:

\(\log_{x^2}\left(\sqrt[3]{x^2}\right)-\log_{x^2}\left(x^4\right)=\log_{x^2}\left(x^{\textstyle\frac23}\right)-\log_{x^2}\left(x^4\right)\)

Одно из свойств логарифма гласит, что

\(\log_{a^q}\left(b^p\right)=\frac pq\cdot\log_a\left(b\right)\)

Применим это правило для решения задачи:

\(\log_{x^2}\left(x^{\textstyle\frac23}\right)-\log_{x^2}\left(x^4\right)=\left(\frac{\displaystyle\frac23}2\right)\cdot\log_x\left(x\right)-\frac42\cdot\log_x\left(x\right)\)

Так как логарифм некоего числа по основанию этого же числа равняется единице, два элемента \(\log_x\left(x\right)\) выпадают из вычислений. Остается лишь вычислить выражение с дробными множителями:

\(\left(\frac{\displaystyle\frac23}2\right)-\frac42=\frac23\cdot\frac12-2=\frac26-2=\frac13-2=\frac13-\frac63=-\frac53\)

Ответ: \(y=-\frac53.\)