Логарифм произведения
Что такое логарифм произведения
Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число.
Число а обычно называют основанием, а число b — аргументом логарифма.
Логарифм имеет следующий вид \(\log_a\left(b\right)\) и читается как «логарифм b по основанию a».
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существуют логарифмы со специальными обозначениями. К ним относятся:
- Десятичный логарифм, который обозначается как lg и всегда имеет основание равное 10: \(\log_{10}=lg.\)
- Натуральный логарифм, который обозначается как ln и всегда имеет основание равное е = 2,718281… (это число иррационально, его невозможно вычислить точно), \(\log_e=ln.\)
Логарифм также имеет основные свойства, которые необходимо помнить для решения примеров:
Логарифм произведения двух чисел \(x\) и \(y\) равен сумме логарифмов этих чисел, если \(x\), \(y\), \(a\) — положительные числа, где \(a\) — основание и \(a\neq1\). \( \log_a\left(x\times y\right)=\log_a\left(x\right)+\log_a\left(y\right)\)
Приведем доказательство данной теоремы.
Возьмем два положительных числа x и y. Пусть \(\log_a(x)=k, \log_a(y)=l.\)
Следовательно, \(x=a^k\) и \(y=a^l\).
Найдем их произведение:
\(x\times y=a^k\times a^l=a^{k+l}\)
Из выражения \(x\times y=a^{k+l}\) следует, что \(k+l=\log_a\left(x\times y\right).\)
Если \(k=\log_a\left(x\right)\) и \(l=\log_a\left(y\right)\), то \(\log_a\left(x\times y\right)=\log_a\left(x\right)+\log_a\left(y\right).\)
Логарифм произведения трех положительных чисел
Формула логарифма произведения применяется также и для нескольких положительных множителей. Возьмем для примера три числа и запишем формулу логарифма произведения в преобразованном виде.
\(\log_a\left(x_1\times x_2\times x_3\right)=\log_a\left(x_1\right)+\log_a\left(x_2\right)+\log_a\left(x_3\right)\)
где \(a\) — логарифмическое основание и \(a, x_1,\;x_2,\;x_3 > 0, a\neq0.\)
Логарифм произведения степени, частного
Помимо логарифма произведения, рассмотрим такие понятия как логарифм степени и частного. Они являются не менее важными для решения задач.
Логарифм степени с положительным основанием — это показатель степени, умноженный на логарифм ее основания.
\(\log_a\left(x^m\right)=m\times\log_a\left(x\right)\)
Логарифм частного двух положительных чисел — это разность между логарифмом делимого и логарифмом делителя.
\(\log_a\left(\frac xy\right)=\log_a\left(x\right)-\log_a\left(y\right)\)
Примеры решения задач на логарифмы
Задача 1
Вычислить \(\log_{11}\left(21\right).\)
Решение
Разложим аргумент логарифма на более простые числа и применим формулу логарифма произведения. Получим:
\(\log_{11}\left(21\right)=\log_{11}\left(3\times7\right)=\log_{11}\left(3\right)+\log_{11}\left(7\right)\)
Задача 2
Вычислить \(\log_{1,8}\left(1,8\times\sqrt{11}\right).\)
Решение
Применим формулу логарифма произведения для нескольких множителей. Получим:
\(\log_{1,8}\left(1,8\times\sqrt{11}\right)=\log_{1,8}\left(1,8\right)+\log_{1,8}\left(\sqrt{11}\right)=1+\log_{1,8}\left(\sqrt{11}\right)\)
Задача 3
Вычислить \(\log_{12}\left(\frac8{13}\right).\)
Применим формулу логарифма частного. Получим:
\(\log_{12}\left(\frac8{13}\right)=\log_{12}\left(8\right)-\log_{12}\left(13\right)\)
Задача 4
Вычислить \(\log_4\left(25\right).\)
Применим формулу логарифма степени. Получим:
\(\log_4\left(25\right)=\log_4\left(5^2\right)=2\times\log_4\left(5\right)\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
