Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

\((1)\;S=S_{осн}+3\times S_{бок}\)

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

\(S=\frac12ah\)

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

\((2)\;S_{осн}=\frac{\sqrt3}4a^2\)

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

\(S=\frac12ah\)

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

\((3)\;S_{бок}=\frac{a\sqrt{b^2-\frac{a^2}4}}2\)

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

\(S=\frac{\sqrt3}4a^2+\frac32\times a\sqrt{b^2-\frac{a^2}4}\)

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

\(h=\frac{\sqrt3}2a\)

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

\(a=\frac h{\frac{\sqrt3}2}\)

Теперь найдем a:

\(a=\frac3{\frac{\sqrt3}2}=\frac{3\times2}{\sqrt3}=\frac6{\sqrt3}\)

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

\(S_{осн}=\frac{\sqrt3}4\times\left(\frac6{\sqrt3}\right)^2=\frac{\sqrt3}4\times\frac{6^2}{\sqrt3^2}=\frac{36\sqrt3}{4\times3}=3\sqrt3\)

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

\(\frac{OK}{MK}=\cos\left(45^\circ\right)=\frac{\sqrt2}2\)

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

\(OK=r=\frac{\sqrt3}6a=\frac{\sqrt3}6\times\frac6{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{6\sqrt3}=1\)

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

\(\frac{OK}{MK}=\frac{\sqrt2}2\)

\(\frac1{MK}=\frac{\sqrt2}2\)

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

\(MK=\frac2{\sqrt2}\)

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

\(S_{бок}=\frac12ah=\frac12\times\frac6{\sqrt3}\times\frac2{\sqrt2}=\frac{1\times6\times2}{2\times\sqrt3\times\sqrt2}=\frac{12}{2\sqrt6}=\frac6{\sqrt6}\)

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

\(S_{MABC}=3\sqrt3+3\times6\sqrt6=3\sqrt3+18\sqrt6\)

Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: \(3\sqrt3+18\sqrt6\;(см^2)\)