Как найти площадь трапеции

Что такое площадь трапеции

Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.

В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.

Способы нахождения площади

Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.

Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:

Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:

\(H = \sqrt{m^{2} - (R – r)^{2}}.\)

Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.

Формулы для вычисления площади равнобедренной и неправильной трапеций

По длине оснований и высоте

Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times h.\)

Через длины всех сторон (Формула Герона)

Чтобы посчитать площадь через длины сторон, можно воспользоваться следующей формулой:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times \sqrt{c^{2} - (\frac{(a - b)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (a — b)})^{2}}.\)

Существует более простая формула, известная, как формула Герона. Для облегчения ее запоминания вводится р, полусумма всех четырех сторон:

\(p = \frac{1}{2} (a+b+c+d).\)

Через диагонали и угол между ними

\(S = \frac{1}{2}\times d_{1} \times d_{2} \times \sin\alpha.\)

Здесь \(d_{1}\) и \(d_{2}\) — диагонали, а \(\alpha\) — угол, образованный ими.

Через радиус вписанной окружности

Площадь любой трапеции можно найти через радиус вписанной окружности, зная длину оснований:

\(S = (a + b) \times r.\)

Площадь равнобокой трапеции также можно найти через круг, вписанный в нее. Для этого нужно знать радиус этого круга, а также угол \(\alpha\) при основании.

\(S = \frac{4r^{2}}{\sin\alpha}.\)

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Такой способ нахождения площади подходит только для равнобоких трапеций. В этой формуле средняя линия обозначается буквой m, боковая сторона — буквой с, а угол при основании — \(\alpha\). Зная длину средней линии и боковой стороны, достаточно найти синус угла и умножить эти значения друг на друга:

\(S = m \times c \times \sin\alpha.\)

Примеры решения задач

Решение:

Подставим известные данные в формулу:

\(S = \frac{1}{2}\times d_{1} \times d_{2} \times \sin\alpha\)

Получим:\(S = \frac{1}{2}\times 6 \times 9 \times \sin30^\circ = 13,5. \)

Ответ: 13,5 \(см^{2}.\)

Решение:

Подставим известные данные в формулу:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times h\)

Получим:

\(S = \frac{1}{2} (9+5) \times 7 = 49.\)

Ответ: 49 \(см^{2}\).

Решение:

Одно из основных свойств трапеции — в нее можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, если представить две проведенные высоты, как на рисунке, АК + МD = АD — BC = 14.

AK = 14 — MD.

Поскольку углы К и М являются прямыми, воспользуемся теоремой Пифагора:
\(AB^{2} = AK^{2} + BK^{2}.\)
\(BK^{2} = AB^{2} — AK^{2}.\)
\(CD^{2} = CM^{2} + MD^{2}.\)
\(CM^{2} = CD^{2} — MD^{2}.\)
\(BK = CM.\)
\(AB^{2} — AK^{2} = CD^{2} — MD^{2}.\)

Подставим числовые значения:
\(13^{2} — (14 — MD)^{2} = 15^{2} — MD^{2}.\)
MD = 9 см.
\(CM^{2} = CD^{2} — MD^{2}.\)

\(CM = \sqrt{CD^{2} — MD^{2}} = \sqrt{15^{2} — 9^{2}} = 12.\)

Теперь, вычислив высоту, мы можем воспользоваться формулой:

\(S = \frac{1}{2} (a+b) \times h\)

Подставим в нее известные значения, получив:

\(S = \frac{28 \times 12}{2} = 168.\)

Ответ: 168 \(см^{2}\).