Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности

Если около некоторого многоугольника описана окружность, то данный многоугольник является вписанным в эту окружность. Существует правило, согласно которому в выпуклый многоугольник можно также вписать какую-либо окружность. Для этого требуется, чтобы все серединные перпендикуляры сторонам многоугольника обладали единственной точкой пересечения. Данную точку называют центром вписанной в многоугольник окружности.

Центр окружности, которая описана около многоугольника, расположен на одинаковом расстоянии от всех вершин рассматриваемого многоугольника. При этом отрезок, один конец которого совпадает с центром окружности, а второй — с любой из вершин многоугольника, равен радиусу описанной окружности.

Если имеется некий правильный многоугольник, то есть равносторонний, вокруг него можно описать окружность. Также в какой-либо правильный многоугольник представляется возможным вписать окружность. В данном случае центры вписанной и описанной окружности совпадают с центром правильного многоугольника.

Отсутствует стандартная формула, с помощью которой можно определить радиус окружности, описанной около многоугольника. Подобная формула предусмотрена для вычисления радиуса вписанной окружности. Поэтому радиус описанной окружности соответствует радиусу окружности, которая описана около какого-либо из треугольников с вершинами, являющимися вершинами описанного многоугольника.

К примеру, представим, что имеется некий многоугольник ABCDE с пятью углами, около которого описана окружность. Радиус данной окружности равен радиусу окружности, описанной около какого-либо из перечисленных треугольников:

• ABC;
• ABD;
• ABE;
• BCD;
• BCE;
• ACD;
• ADE и так далее.

Частные случаи составления формул для расчета радиуса описанной окружности:

• правильные многоугольники;
• треугольники;
• прямоугольники.

Заметим, что:

\(OA=OB=OC=R\)

Расстояние, на которое удалена каждая из вершин треугольника от центральной точки описанной окружности, соответствует радиусу данной окружности. Заметим, что окружность допустимо описать около какого-либо треугольника без ограничений. Описанная около треугольника окружность обладает центром, совпадающим с точкой, в котором пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к граням треугольника. Данные отрезки перпендикулярны относительно сторон треугольника и пересекают середины этих сторон.

Предположим, что имеется некий треугольник с острыми углами. Если описать окружность около такой геометрической фигуры, то центр окружности будет расположен в ее внутреннем пространстве.

Представим, что имеется некий прямоугольный треугольник. Если описать около такой геометрической фигуры окружность, то ее центр будет расположен на середине гипотенузы.

Около треугольника с тупым углом также допустимо описать окружность. При этом центр данной окружности окажется вне геометрической фигуры. В данном случае центральная точка окружности расположена напротив тупого угла треугольника, за большей стороной.

Теорема с доказательством

Докажем записанную теорему. Для этого представим, что существует некий треугольник АВС. Опишем около данного треугольника окружность (O; R). Обозначим стороны треугольника таким образом:

\(AB=c, BC=a, AC=b.\)

Нужно представить доказательство того, что:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Изобразим данные треугольник и окружность для наглядности:

Ведем обозначение угла А. Пусть:

\(\angle A= \alpha\)

Вспомним, что вычислить площадь треугольника можно по двум сторонам и углу между ними, как половину от результата умножения пары сторон треугольника на синус угла, расположенного между ними.

Применительно к нашему случаю, получим:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot AB \cdot \sin \angle A = \frac{1}{2}bc\sin \alpha.\)

Далее требуется воспользоваться теоремой синусов, вернее, ее следствием. Заметим, что стороны треугольника относятся к синусу противолежащего угла, как радиус, описанной окружности около данного треугольника, умноженный на два:

\(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2R\)

Тогда:

\(R = \frac{a}{{2\sin \alpha }}.\)

С помощью данной формулы можно представить расчет синуса угла \(\alpha\):

\(\sin \alpha = \frac{a}{{2R}}\)

При подстановке полученного выражения в начальную формулу имеем:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\)

Теорема доказана.

Примеры задач

Ранее получилось доказать теорему о площади треугольника, вычисляемой с помощью радиуса описанной окружности. Запишем формулу, отражающую смысл этой теоремы:

\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Используя данную формулу, можно решать задачи по геометрии. Приведем несколько типичных примеров таких заданий.