Вычисление площади треугольника при помощи радиуса вписанной окружности

Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти, теорема и доказательство, формула

Теорема 1

Площадь треугольника равна произведению полупериметра данного треугольника на радиус вписанной в него окружности.

Формула 1

S=pr где p — полупериметр,

 r — радиус вписанной окружности,

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

a, b, c — стороны треугольника.

Доказательство:

доказательство 1

Пусть у ΔABC стороны равны a, b, c. AС=а, АВ=b, ВС=с. В ΔABC вписана окружность с центром в точке О и радиусом r.

доказательство 2

Проведем отрезки ОА и ОС. Радиус r является высотой ΔАОС, проведенной к АС, по свойству касательной к окружности и ее радиуса. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания и проведенной к этому основанию высоты, 

\(S_{\Delta AОC}=\frac12a·r.\)

доказательство 3

Таким же образом найдем площади треугольников АОВ и ВОС. 

\(S_{\Delta AОВ}=\frac12b·r, \)

\(S_{\Delta BОC}=\frac12c·r.\)

ΔABC разбит отрезками ОА, ОВ и ОС на ΔAОВ, ΔAОC и ΔBОCи его площадь равна сумме площадей данных треугольников. 

\(S_{\Delta AВС}=S_{\Delta AОC}+S_{\Delta AОВ}+S_{\Delta BОC},\)

\(S_{\Delta AВС}=\frac12a·r+\frac12b·r+\frac12c·r,\)

\(S_{\Delta AВС}=frac12r\left(а+b+c\right).\)

Периметр ΔABC равен сумме его трех сторон, а полупериметр равен \(\frac{\left(a+b+c\right)}2. \)

Отсюда делаем вывод, что \(S_{\Delta AВС}=pr\), где p — полупериметр.

Теорема доказана.

Примеры решения задач с ответами

Задача 1

 Дано: ΔDEF — равнобедренный, DE=EF. В ΔDEF вписана окружность, к которой проведена касательная КМ.

При этом КМ||EF.

\(DK=\frac38·EF. S_{\Delta DEF}=12 см^2.\)

Найти: радиус вписанной окружности.

Решение:

задача площадь

Пусть N — точка касания окружности и КМ, Р — точка касания окружности и DE, Н — точка касания окружности и DF.

Обозначим DE=EF=а, DH=HF=b. 

Тогда DP=b, так как DP=DH.

MN=MH.

KP=KN.

DP=DK+KP=DK+KN.

DH=DM+MH=DM+MN.

DP=DH.

ΔDKM и ΔDEF подобны.

Пусть \(p_1\) и p — их полупериметры. Тогда полупериметр  \(ΔDKM p_1=DP=DH=b.\)

Полупериметр ΔDEF p=DE+DH=a+b

\(p_1:p=DK:DE=3:8\)

b=3a/5 

Так как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то \(EH^2=DE^2-DH^2=a^2-(3a/5)^2. \)

Так как \(S_{\Delta DEF}=EH·DH\), то \(12=b·4a/5=3a/5·4a/5. a=5, b=3.\)

Следовательно, радиус вписанной окружности \(r=\frac{S_{\Delta DEF}}p=\frac{12}{a+b}=\frac32 (см).\)

Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см.

Задача 2

Дано: ΔАВС — равнобедренный. Его основание АС равно 12 см, а высота, проведенная к основанию — 8 см. В треугольник вписана окружность, к которой проведена касательная КМ, параллельная основанию.

Найти: КМ.

Решение: 

Задача 2

ΔАВС и ΔКВМ подобны. Найдем коэффициент их подобия. 

\(S_{\Delta АВС}=12·8=96 (см^2). \)

По теореме Пифагора найдем АВ и затем вычислим р — полупериметр ΔАВС, р=32 (см).

Радиус вписанной окружности \(r=\frac{S_{\Delta АВС}}р=96:32=3 (см).\)

Диаметр вписанной окружности равен 6 см, а высота ΔКВМ, проведенная к КМ равна 2 см.

Коэффициент подобия ΔАВС и ΔКВМ равен \(\frac14.\)

Значит \(КМ=\frac14·АС=3 (см).\)

Ответ: КМ=3 см.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»