Показательная форма записи комплексного числа

Что такое показательная форма комплексного числа

Как перейти к показательной форме комплексного числа

Для перехода к показательной форме комплексного числа нужно поработать над его алгебраической записью. Рассмотрим преобразование.

Алгебраическая форма имеет вид:

\(\mathcal z=\mathcal a+\mathcal{bi},\;\)где \(\;\mathcal a\;\) и \(\;\mathcal b\)  — действительные числа.

Находим модуль \(\left|\mathcal z\right|\) через извлечение корня и аргумент \(arg\mathcal z\).

Подставляем полученные значения в показательную форму: 

\(\mathcal z=\left|\mathcal z\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi}\) (произведение модуля и аргумента)

Пример:

\(\mathcal z=3\mathcal i\).

\(\left|\mathcal z\right|=\sqrt{\mathcal a^2+\mathcal b^2}=\sqrt{0^2+3^2}=\sqrt9=3.\)

\(arg\mathcal z=arctg\frac{\mathcal b}{\mathcal a}=arctg\frac30=arctg\infty=\frac{\mathrm\pi}2.\)

Вывод: \(\mathcal z=3\mathcal e^{\mathcal i\frac{\mathrm\pi}2}.\)

Комплексно сопряженное число в показательной форме

Примечание:

Мнимые части отличаются знаком.

Пример:

Если \(\mathcal z=5-\mathcal i\), то комплексно сопряженным для этого числа будет \(\overline{\mathcal z}=5+\mathcal i\).

Действия над комплексными числами в показательной форме

• формула перемножения

\({\mathcal z}_1\times{\mathcal z}_2=\left|{\mathcal z}_1\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi_1}\times\left|{\mathcal z}_2\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi_2}=\left|{\mathcal z}_1\right|\times\left|{\mathcal z}_2\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi_1+\mathcal i\varphi_2}=\left|{\mathcal z}_1\right|\times\left|{\mathcal z}_2\right|\mathcal e^{\mathcal i(\varphi_1+\varphi_2)}\)

• как делить

\(\frac{{\mathcal z}_1}{{\mathcal z}_2}=\frac{\left|{\mathcal z}_1\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi_1}}{\left|{\mathcal z}_2\right|\mathcal e^{\mathcal i\varphi_2}}=\frac{\left|{\mathcal z}_1\right|}{\left|{\mathcal z}_2\right|}\mathcal e^{\mathcal i\varphi_1-\mathcal i\varphi_2}=\frac{\left|{\mathcal z}_1\right|}{\left|{\mathcal z}_2\right|}\mathcal e^{\mathcal i(\varphi_1-\varphi_2)}\)

Вычитание и сложение происходит в алгебраической форме. Вычитаем и складываем действительные и мнимые части.

• разность

\({\mathcal z}_1-{\mathcal z}_2=({\mathcal a}_1+{\mathcal{ib}}_1)-({\mathcal a}_2+{\mathcal{ib}}_2)={\mathcal a}_1-{\mathcal a}_2+\mathcal i({\mathcal b}_1-{\mathcal b}_2)\)

• сумма

\({\mathcal z}_1+{\mathcal z}_2=({\mathcal a}_1+{\mathcal{ib}}_1)+({\mathcal a}_2+{\mathcal{ib}}_2)={\mathcal a}_1+{\mathcal a}_2+\mathcal i({\mathcal b}_1+{\mathcal b}_2)\)

Примеры задач

Задача 1

Дано:

Есть комплексное число \(\mathcal z=-7\mathcal i.\)

Найти: 

Записать число в показательной форме.

Решение:

 Модуль равен:

\(\mathcal r=\sqrt{\mathcal x^2+\mathcal y^2}=\sqrt{0^2+{(-7)}^2}=\sqrt{49}=7\)

Далее считаем аргумент комплексного числа:

\(\varphi=arg\mathcal z=arctg\frac{\mathcal y}{\mathcal x}=arctg\frac{-7}0=arctg(-\infty)=-\frac{\mathrm\pi}2\)

Получаем умножением:

\(\mathcal z=\mathcal{re}^{\mathcal i\varphi}=7\mathcal e^{-\frac{\mathrm\pi}2\mathcal i}.\)

Задача 2

Дано:

Число в алгебраической форме \(\mathcal z=-3+4\mathcal i.\)

Найти:

Представить в показательной форме.

Решение:

\(\mathcal r=\sqrt{\mathcal x^2+\mathcal y^2}=\sqrt{{(-3)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5\)

\(\varphi=arg\mathcal z=arctg\frac{\mathcal y}{\mathcal x}=arctg\frac4{(-3)}=-arctg\frac43\)

Получаем: \(\mathcal z=\mathcal{re}^{\mathcal i\varphi}=5\mathcal e^{-arctg\frac43\mathcal i}\).